Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
4.3.1. Уравнения эволюции
Очевидно, что для этого случая социоконфигурация состоит только из четырех целых чисел:
п = {п5Х;пГ,п?}. (4.19)
131
Демография Часть II. 1
Общая численность популяций
2М = < 4- (4.20)
и
2N = n\ + nl (4.21)
для популяций и Vй постоянна во времени. Поэтому можно ввести следующие переменные:
(т/ - пм)
т = v 1 , -М <С m <С 4-М (4.22)
п = к 1 , -N^n ^+N, (4.23)
— M + m, Uj=M-TU (4.24)
так что
Ti1I=N + п, п\ = N - п. (4.25)
Функции полезностей для членов популяции Р", а = ц,р в регионе г = 1, 2 имеют вид:
<«, <) = -t- «"Ч 4- (4.26)
Индивидуальные интенсивности перехода можно представить в следующем виде:
pt = V11 ехр {«?(n? + 1, nj) - <«, <)} (4.27)
и
р? = vv ехр {«J(n?, njf 4-1) - <(nf, <)}• (4.28)
Подставляя эти равенства в (4.26) и используя переменные (4.22) и (4.23), получим
pf2(m> n) ~ 1V ехР {Аи**(т> п)}, (4.29)
132
Миграция населения
Глава 4
P^1 (го, те) — v? ехр {- Aw^ (го, те)}, (4.30)
Рп(т, п) = vv ехр {Аии(т, те)}, (4.31)
P2i(m,n) = vu ехр {-Au^(Tn, п)} (4.32)
с
Au^(т, те) = (^ + к^т + кГп), (4.33)
Аии(т, те) = (6" + к^т + /с""п), (4.34)
где
tfe = ^(tf-tf). ol = ^v (4.35)
и
= Va ехр |^аа|' a = p,v. (4.36)
Интенсивности перехода, согласно (4.5, 4.6), приобретают следующий вид:
W^2 = (т, те) = ^2П2 = "/i(M - m) ехр {Дия(ш, те)}, (4.37)
Wj1 = (т, те) = и71? = ^(M 4- го) ехр {- Au^(т, те)}, (4.38)
«^2 = w*(m, те) = р\г^2 —Vy[N- те) ехр {Ди"(го, п)}, (4.39)
«721 = гУ| (m, n) = Р2\пиі ~v„(N + те) ехр {- Дм" (го, п)}. (4.40)
Интенсивности перехода w\'(го, те), w^(m, те), ги*(го, те) и ^(го, те) характеризуют переходы из (го, те) к (го +1, те), (m-1, те), (го, те + 1) и (го, те — 1), соответственно.
Основное уравнение
Теперь мохшо выписать основное уравнение (4.14) для рассматриваемого случая, т. е. для переменных го и те:
dP(m, те; t) " Jt ~
133
Демография Часть II. 1
= - I [w^(m,n)-\-w^(m,п) 4- wu(m,п) 4- vj\(m,п)] Р(то,п;t)J + 4- {«^(то- l,n)P(m- l,n;t) + w^(m + \,n)P(m + \,n;t) +
+ wv(m,n-\)P{m,n-l',t) + w\(m,n+\)P(m,n + \-,t)^. (4.41)
Первое слагаемое в правой части уравнения (4.41) описывает поток вероятности из конфигурации (то, п) в соседние конфигурации (то 4- 1, п), (то - 1, п), (то, n 4- 1) с (то, тг - 1). Второе слагаемое описывает поток вероятности из соседних конфигураций (то—1, п), (то4-1, п), (т, п-\) с (то, П4-1) в конфигурацию (то, п).
При определенных свойствах интенсивностей перехода (4.37)-(4.40) стационарное решение Pst(m,n) уравнения (4.41) удовлетворяет так называемым условиям «детального баланса»:
(т 4- 1, n)Pst(m 4- 1, п) = wf(m, n)Pst(m, п), (4.42) (то, п 4- l)Pst(m, n + 1) = wf(m, n)Pst(m, п). (4.43)
Смысл этих условий состоит в том, что в стационарном состоянии потоки вероятности в и из конфигурации (т, п) равны.
Для того чтобы детальный баланс (4.42, 4.43) выполнялся, интенсивности перехода должны удовлетворять определенным условиям, которые в нашем случае имеют вид:
wu(m, п 4- 1) wj*(to 4-1, n + 1) wv(m+\,n) w^(m,n)
w"(m,n) гУ|(то,п4-1) ги* (то 4-1, п 4-1) w^(m+\,n)
(4.44)
Подставляя интенсивности (4.37)-(4.40) в (4.44), можно легко проверить, что условие (4.44) удовлетворяется, если
кГ = /с"** = и. (4.45)
В то же время видно, что отсутствуют ограничения для параметров , kvu, и 6У. Выражение (4.45) означает, что «общественное мнение» популяции Vу о «привлекательности» популяции является таким же, как и мнение популяции о популяции Vу.
134
Миграция населения
Глава 4
Полагая теперь, что (4.45), (4.44) выполняются, можно построить точное стационарное решение Pst (т, п) основного уравнения (4.41) (см. 12.1):
1^i wUm,b) <(а,0)
После подстановки интенсивностей перехода (4.37-4.40), полу-
2М \ {2N\~l ( 2N
чим:
-1 / ___ ч -і
р*") = (2м) (.
X ехр {26Pm 4- 2tf"n 4- ^m2 4- 2<тттг + Л2}Р5*(0, 0), (4.47)
M + т) \ N ) V N + n ' Х
где
Al
(4.48)
#/ Б!(Л-Б)!
и где Pst(0, 0) определяется из условия нормировки
4-М +JV
53 Y Pst(m,n) = \. (4.49)
m=-Mn—-N
Если детальный баланс не выполняется, то стационарное решение основного уравнения, конечно же, тоже существует, но оно может быть определено только численно.
Уравнения квазисредних
После перехода к переменным т, п из уравнений (4.17) получим:
drh(t)
dt
= 2^{Msh[A^(m, n)] -mch[A^(m, n)]} (4.50)
3^—- = 2vv{N sh [Auv{m, n)] - n ch [Au(m, n)]}. (4.51)
135
Демография Часть II. 1
Для дальнейшей оценки и интерпретации модели рассмотрим следующие условия:
M = N, ¦ (4.52)
6? = 6^ = 0; і = 1,2, (4.53)
к?* = nvv = к, (4.54)
= vv = v. (4.55)
Это означает, что численности субпопуляций и Vй равны, и естественные преимущества между двумя районами і = 1,2 отсутствуют. Более того, внутренние агломерационные тренды и скоростные миграционные параметры V^ и vv обеих популяций V? и Vу рассматриваются равными. В этом случае удобно ввести переменные
т п
ж = —, V = Jj, -\^у^+\, (4.56)
ka? = ka?N; т = Ivb. (4.57)
Тогда уравнения квазисредних принимают следующую форму dx
