Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
Одновременно существуют инверсные потоки
wk(m,mk+,n, ti)P(mk+,n, ti,t) и wg(in,n, 11?, tf)P(m, 11?, tf, t).
Основное уравнение есть уравнение динамического баланса потоков вероятности для каждой конфигурации (m, n, i9).
Очевидно, увеличение за единицу времени вероятности конфигурации (т, п, &) есть результат суммирования всех потоков вероятностей из соседних конфигураций в конфигурацию (m, n, 1O). Одновременно уменьшение за единицу времени вероятности этой же конфигурации (т, п, &) есть результат суммирования всех потоков вероятности из конфигурации (m, n, 1O) во все соседние конфигурации. Таким образом, производная вероятности P(m,n, і9,?) по времени равняется разности общих потоков вероятности в и из конфигурации (т, п, &). Эти рассуждения
Структуры и модельные концепции Часть I
приводят к основному уравнению для Р(т, п, і9, і):
{wk(m, mk+; n; ti)P(mk+, n, tf; t) + + wk(m. т*_; n; tf)P(mfc_, n, 0; t)} -{wfc(mfc+,m;ii; tf)P(m,n, 0;*) + + wk(mk_, m; n; 0)P(m, n, 0; 0} + {«^(т; n, 11?; 0)P(m, 11?, 0; *)} ~
{w^(m; n]i, n; 0)P(m, n, 0; *)} +
n; ^ > *f+)P(m, n, 0?+; *) + + «u(m; n; 0, 0?_)P(m, 11, 0?_; i)} -{wa(m; n; 0га+, 0)P(m, n, 0: t) +
+ «u(m; 11; 0?_, tf)P(m, (3-47)
Первая, третья и пятая строки этого уравнения (3.47) (правой его части) описывают потоки вероятности в конфигурацию (m, n, 0) из соседних конфигураций соответственно. Вторая, четвертая и шестая строки описывают потоки вероятности из конфигурации (m, n, 0) в соответствующие соседние конфигурации.
Уравнение (3.47) представляет собой наиболее общую форму основного уравнения для всего класса социодинамических систем. В специализированных моделях не обязательно отражены все переменные и все виды интенсивностей перехода. В этих случаях основное уравнение становится более простым.
Основное уравнение наиболее полно описывает эволюцию характеристик макроуровня системы. Его решение, т.е. распреде-
dP(m, n, 0;?) Jt
=+Е
-Е
-Е
г,І,а
+E
E
102
Общая концепция моделирования в социодинамике
Глава 3
ление вероятности P(m,n, которое может быть унимодальным или мультимодальным, включает также эволюцию наиболее вероятных величин mmax(?),nmax(?), 0max(*)¦
Наиболее важным случаем является социальный фазовый переход, т. е. бифуркация наиболее вероятных путей или траекторий рассматриваемых социальных секторов. Примером фазового перехода может служить бифуркация начального унимодального распределения вероятностей в мультимодальное распределение.
Уравнения средних
Основное уравнение занимает центральное место в рассматриваемой здесь концепции моделирования. Однако его практическое применение часто бывает затруднительным.
Во-первых, возможны только численные решения основного уравнения; во-вторых, распределение вероятности P(m, n, 0, і) содержит слишком много информации в сравнении с имеющимися эмпирическими данными. Для того чтобы полостью использовать содержащуюся в распределении вероятности информацию, необходимо множество социальных систем, стохастически развивающихся в пределах одних и тех же условий, т. е. необходимы одни и те же параметры трендов и управлений. Однако в реальности в распоряжении исследователя находится только одна или несколько сравнимых систем.
Поэтому желательно получение из основного уравнения более простых уравнений движения. Они должны включать основную информацию о модели и быть сопоставимыми с эволюцией отдельной реальной социальной системы. Предлагаемыми величинами, пригодными для этого, являются средние гй(?), п(?), 0(?) макропеременных и, возможно, функций средних значений. Средние значения определяются следующими равенствами:
(3.48)
103
Структуры и модельные концепции
Часть I
п?ф = Х>?Р(т,п,0;*), (3.49)
Точные и приближенные уравнения эволюции средних представлены в главе 11. Здесь мы дадим основные этапы их вывода, отсылая читателя за точными формулировками к главе 11.
Точные уравнения средних имеют вид:
dmk(t)
dt
dnfjt) dt
d0f(t)
wk(mk+, m; n; 0) - wk(mk-, m; n; 0), (3.51)
«;S(m; n; 0?+, 0) - wa(m; n; 0?_, 0). (3.53)
dt
Однако эти уравнения еще не ведут к упрощениям по следующей причине: для того чтобы вычислить правую часть уравнений (3.51-3.53), необходимо иметь распределение вероятности Р(т, п, 0, t), которое становится известным только после решения основного уравнения (3.47).
Для упрощения уравнений средних необходимы определенные предположения о распределении вероятностей P(m,n,0,?). Если можно предположить, что распределение вероятности остается унимодальным и имеет «острый» максимум, то приближенно можно считать, что «среднее от функции /(m,n, 0) равно этой же функции, но зависящей от средних»:
/(m, n, 0) ^ /(т(0, n(t), Щ). (3.54)
Используя (3.54), из уравнений (3.51-3.53) получим:
dm*W _ Wk(?k+) т; п; 0) - u;fc(mfc_, т; п; 0), (3.55)
at
104
Общая концепция моделирования в социодинамике
Глава 3
dn?(t) dt
j
;tf)-X<*(m;nj,n;tf), (3-56)
і
d0?(t)
и&(т; n; <+, 0) - «&(m; n; 0).
(3.57)
dt
Подставляя интенсивности перехода (3.36, 3.37), (3.38, 3.39), (3.40, 3.41) в уравнения (3.55-3.57), получим приближенные уравнения для средних значений макропеременных, характеризующих соответствующую конфигурацию. Например, уравнение (3.56) после такой подстановки примет вид:
