Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вайдлих В. -> "Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках" -> 112

Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.

Вайдлих В. Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках. Под редакцией Попкова Ю.С. — M.: Едиториал УРСС, 2005. — 480 c.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка): socdinam2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 120 >> Следующая

Конфигурация населения состоит только из двух переменных {щ, п2}. Так как рассматривается только чистая миграция, общее количество населения
ni+n2 = 2N. (11.50)
Удобно ввести переменную п следующими равенствами: Ji2-Ui — 2n; -JV ^ п < 4-JV;
11.51)
пі = JV - п; п2 = JV 4- п.
Все переменные п\, п2, JV, п являются целыми. Интенсивностями перехода, относящимися к переходам {щ, п2} —> {(щ — 1), (п2 +1)} и {пь Tl2} —* {(щ 4- 1), (п2 - 1)}, являются
W2I(n) = РіЩ = Pi(JV-п),
W п(п) = PIn2=Pi(N+ п), где предполагается, что индивидуальные интенсивности перехода р^, Pl не зависят ни от времени, ни от {nb 712} и
VJn = W22 = 0. (11.53)
Уравнения (11.39) средних
nj(t) = YnJp(nun2;t), с і =1,2 (11.54)
n
теперь принимают форму dni
= Wп(п) - w2i(n) = PiJl2-р^щ, — = w21(n) - wn(n) = pTni - P^n2.
[11-55)
452
Уравнения средних и дисперсий
Віава 11
Или, переходя к N и п, получим
dN 1 ^ .
— = -(пі +п2) =0, (а)
dt_ 1 (11.56)
— = - (й2 - Ui) = (рт - Pi)^ - (рт + Рі)й- (Ь) Уравнения дисперсий (11.40)
= ?(n« ~ A»')(TOj ~ nj)P(n\'n2', t) = ЩП] - Щ • uj,
(11.57)
с i, j = 1, 2
после подстановки в (11.40) выражений (11.20), (11.21) и (11.22) преобразуются к виду:
dt
dvn dt dv2
- = -p]vn+p[v12-pi.v11+pivl2 + pin2+p^n1, (a) = +P\vn -PiVn-P]V2I+ Pfin-P^n1 -PiU2, (b)
(11.58)
dt dv2
- =-PTV21 +Pl»22+PtVU -P!^12-Ptnl -Pln2, (c)
- =Н"РТФ21 -P|^22+Pt^21 -PiV22-TP]U1^p1U2, (d)
dt
где
nm,„\__ , „ . „ nm
W1 (xi) = P1U2-^n1; w2 (n) = P^n1 -p[U2; ^fM(n) = P[Ti1 +Р|Пь wfM(n) = P1Ti1 +P^n2; (11.59) wfxM = ws22M = 0; ws21M = ws12M = Р]щ + P1U2
„ nm nm
w)\\ =~Ph w\\i =+pi;
11.60)
1i»2|l = +P|, ™2|2 = "PI-
453
Математические методы
Часть III
Здесь общее количество населения 2JV = 2JV = 2No постоянно. Это означает, что дисперсии
VNN = VNn = VnN = 0, (11.61)
и что распределение вероятностей имеет форму (которая согласуется с основным уравнением):
Р(пь Ti2; t) = P((JV - n)(/Y + п); *) = UrA0P(Ti; і). (11.62)
Переходя к переменным {JV, п} и принимая во внимание (11.61), получим:
Т3ц = [(N- Ti)-(N- ¦ [(JV - п) -(N-U)]
«12 = [(N- Ti)-(N- ті)]. • [(N+ п) -(N + п)]
V2I = [(N + Ti)-(N + tl)] ¦[(N-n) -(N-n)]
(11.63)
U22 = [(JV + n)-(N + ті)] ¦ [(N + n)-(N + ті)] = +vnn.
Это означает, что четыре дисперсии V? могут быть выражены через дисперсию vnn переменной п. После подстановки (11.63) в (11.58) оказывается, что четыре уравнения (11.58«, Ь, с, d) совпадают. Поэтому можно рассмотреть только одно уравнение для vnn: dv
-~ = (pttl1 +PiU2) - 2(рт +Pi)vnn. (11.64)
Таким образом, постоянство JV = JVb и зануление его дисперсии привело к значительному упрощению: вместо двух уравнений (11.55) и четырех уравнений (11.58) необходимо решить только одно уравнение средних (11.56 Ь) и одно уравнение дисперсии (11.64).
Решение (11.56 Ь) имеет вид:
n(t) = nst + cexp{ - (pt +Pi)t}, (11.65)
где стационарное значение
п.* = р^Ц N0. (11.66)
(Pt + Pi)
454
Уравнения средних и дисперсий
Глава 11
Постоянная интегрирования с определяется начальным значением no = n(t = 0):
с = (n{)-nst). (11.67)
Выражая n\(t) и П2(і) через n(t) с помощью (11.51), получаем n(t) = nst + (n0 - nst) exp {- (pT 4- Pi)t}, ni(t) = nUt 4- (пю - пі,*) exp {- (pt 4-Pi)*}, (11.68)
M*) = Klst + (n2q - n2st) exp {- (Pt + Pi)*}"
Уравнение дисперсии (11.64) есть неоднородное линейное дифференциальное уравнение типа
dy
ft=g(t) + f(t)y(t), (11.69)
которое может быть точно решено. Решение имеет вид:
t
y(t) =уо ехр {F(t)} 4- J g(t') ехр {F(t)~ F(If)} dt' (11.70)
о
с
t
Уо = у(* = 0); F(O = у /(*')#'¦ (11-71)
о
Введем для (11.64) следующие обозначения:
y(t) = vnn(t), (а)
f(t) = -2(pt 4- Pi); F(O = -2(рт 4- Pi)*, (6)
5(0 = (Pt^i(O 4-Р|п2(0) = (pt(^o-n(*))+Pi(JV0+n(*))) =
^PtPi
= 7^~rV\No ~ ^ "P^™0 ~ ™si)exp I - (Pr + Pi)o- (c)
VPt "T" Pi/1
(11.72)
455
Математические методы
Часть III
После подстановки (11.72) в (11.70) получим: Vnn(t) = «nn(0) ехр {- 2(рт 4-Pi)*} 4-
7?) X
(11.73)
где
Vnn = vnn(* = оо) =
(11.74)
(Pt +Pi)
Анализ полученных результатов (11.73) и (11.74) позволяет сделать следующие заключения.
1. Если начальная дисперсия vnn(0) имеет порядок 0(Nq) , дисперсия vnn(t) остается порядка 0(Nq) , потому что vnn и nQ, nst остаются порядка 0(N0).
Следовательно, условия для применения приближенных уравнений (11.39) и (11.40) выполнены. Это конечно ожидалось, потому что в нашем простом случае высшие производные интенсивностей перехода равны нулю.
2. Стационарная дисперсия vnn не зависит от начальной дисперсии vnn(0).
Глава 12
Стохастические траектории и уравнения квазисредних значений
В математической теории стохастических систем разработано два основных подхода. Один подход рассматривает ансамбль (набор) одинаковых, но вероятностно развивающихся систем. Другой подход сосредотачивается на одной системе и исследует свойства ее временной эволюции, где она проходит бесконечный ряд состояний. Бесконечную последовательность этих состояний определим как стохастическую траекторию.
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 120 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed