Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вайдлих В. -> "Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках" -> 106

Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.

Вайдлих В. Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках. Под редакцией Попкова Ю.С. — M.: Едиториал УРСС, 2005. — 480 c.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка): socdinam2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 120 >> Следующая

д
oi/,-(i)
Х>(п; 0 = 0.
(10.88)
Сейчас проверим, при каких условиях для щ{Ь) формула (10.84) является решением уравнения (10.83). В соответствии с (10.85), будем иметь
Й7г(п; *) dt
ее тг(п; 0 = E ( Пі~ ~ ^ J *)
тг(пзі; 0 = —7г(п;0-
(10.89) (10.90)
423
Математические методы
Часть III
Используя эти соотношения в уравнении (10.83), получим:
L Lr -і
= ?n,-x(n;*).? Pij(t)^ -Pji(t) . (10.91)
і= і j=i -I
Это равенство справедливо, если множители при тгг-7г(п; t) и 7г(п; t) совпадают. Отсюда получаем следующие условия для Vi(t):
L
и
?*(t) = 0; * = 1,2.....(10.93)
i=l
В главе 11 будет показано, что уравнения (10.93) описывают эволюцию средних Ui(t) = Vi(t).
Если интенсивности перехода pji и соответствующие мобильности fiji и полезности Uj, щ не зависят от времени, уравнения средних (10.93) преобразуется к виду:
L
Mt) = Y b{Ut~Uj)^) - e(ui-u'}Mt)}. (10.94)
Они имеют единственное стационарное решение:
V? == fiT = —-———
где
? ехр {2«J-}
j=i
(10.95)
^ = !>(*)= Х>*' (10-96)
есть общее количество участников миграционного движения.
424
Основное уравнение Глава 10
Соответственно, решение (10.85) сходится к стационарному распределению вероятности
PsM) = —^--- ехр І2 V щщ], (10.97)
где С — есть нормировочная константа.
В заключение докажем, что многомерное пуассоновское распределение является также приближенным решением для основного уравнения, в которое включены не только миграционные процессы, но и процессы рождаемости/смертности с интенсивно-стями (10.76), (10.77).
Предположим, что
wi+(n) = &щ => (10.98)
Подставляя (10.82) в основное уравнение (10.37) с интенсив-ностями перехода (10.76), (10.77) и (10.78), в приближении (10.98) получим следующее уравнение для 7г(п; J):
Й7г(п; J) л ( / \ / \ і
—^~ = {fypij{t)4*ji> Ч - nipji(t)ic(n; J)} +
+X) ~ !)^^(?-'» о - Р&МЪ O)+
і
+ X) te^^+i 0 " №пМп> чУ • (10.99)
і
Подставляя (10.90), (10.91) и
тг(Пі_; J) = -тг(п; J); тг(пг+; J) = */г-тг(п; J) (10.100)
в обе части уравнения (10.100), получим
Li / . \ Li Li J-
X) ( гсі — ~ ї>і W(n; J) = X) n^(n'' Ч X) ViA1) — - РіФ і=і V ^ У і=і j=i L ^
+
425
Математические методы
Часть III
+ {A(^t - 1) • гц ¦ тг(п; *)• — -#¦ щтг(п; t) 1 +
L
+ E {f*Mn'i t)' vi - ^гЩтг(п; t)}. (10.101)
i=l
Отождествляя, как и ранее, щ с щ и полагая (п; — 1) « й,-, сравним коэффициенты при щ1г(п',Ь) и 7г(п; t) в (10.102) для получения условий, которым должны удовлетворять Vi{t). Сравнение дает:
L
ч = Yl [ajW^ (*) - purity] + (?i - ^M*) ^10 ]02j
для г = 1, 2,..., L
и
L L
Yvi = X)(A- - **.>.¦(*). (10-103)
i=T і= 1
Уравнения (10.103) оказываются уравнениями движения квазисредних Vi(t) = й,-(і).
Конечно, при наличии процессов рождаемости/смертности,
L
N = S больше не является константой. Наоборот, N может
і=і
стремиться к бесконечности, если интенсивности рождаемости превосходят интенсивности смертности.
10.5. Детальный баланс и построение решения стационарного основного уравнения
Вернемся к обсуждению стационарного основного уравнения, которое здесь для удобства повторим:
с с
^wQ\i)P,t(\) = Y2v>(l\i)P*(S) Для j=l,2,...,с. (10.104)
i=l i=l
426
Основное уравнение Глава 10
В разделе 10.3 мы видели, что единственное стационарное решение Pet(і), нормированное на единицу, т. е.
с
E^tO) = L (10Л05)
1=1
всегда существует при некоторых условиях на интенсивности перехода. Нетривиальное решение системы с линейных уравнений для Pstij) в принципе всегда может быть найдено, так как детерминант системы равен нулю (см. (10.44)).
Здесь мы рассмотрим случай, когда интенсивности перехода w(j І і) удовлетворяют условиям детального баланса
w(j\i)Pst(\) = w(\\j)PstU) для всех і и j, где І ф j.
Эти условия означают, что поток вероятностей из состояния і в другое состояние j равен обратному потоку из состояния j в состояние І.
Если условие (10.106) детального баланса выполнено, легко построить точную форму стационарного решения P5* (і) для всех состояний І.
Для этой цели мы можем взять любую цепь С состояний іо, »ь ... i„ от начального состояния i0 к произвольному состоянию Xn. Пусть для них существуют интенсивности переходов между двумя соседними состояниями, т. е. существуют все
W(I1 I i0),w(io I ii);w(i2 I I i2); ••• ;w(\n \ In^1), w(\n-{ | iB).
Тогда из (10.106) получим:
Pet (in) = (С)П!1НІІ%А)- (10.107) to w^ I Wi)
Значение Pst(h) может быть определено путем подстановки (10.107) в условие нормировки (10.105).
427
Математические методы Часть III
Условия детального баланса сформулированы через стационарное решение основного уравнения, которое, вообще говоря, заранее не известно.
Пусть цепь С будет замкнутой С, т. е. конечное состояние In совпадает с начальным состоянием I0. В этом случае из (10.108) получим:
п-1
-PrfOo)= I I л . .-г-ЗДо) (10.108)
или
n-1
А} «,(і,, I Wi) " (10.109)
для замкнутой цепи ?(Ь, \\,... , In = Io).
Очевидно, что эти условия не содержат неизвестного PS?.
Теперь мы докажем, что (10. ПО) необходимые и достаточные условия детального баланса. Это означает, что уравнение (10.110) эквивалентно условию (10.107).
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 120 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed