Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
"IM)
=? р(і;0
PO;*)
inf») + i VPiO;*)
P12O;*) -Pi(J;*)
f P(I;*)
VPiO;*)
где используется обозначение
rfPQ; *)
dt
P(I;*).
(10.64)
(10.65)
Подставим в правую часть равенства (10.64) основное уравнение для P(j; t) и Pi (j; J). Получим:
418
Основное уравнение
Глава 10
dH(t)
dt
E E h (і I О*»; *) - ^(I I КО; *)] in (ЦІ) + (J) +EEMl I)JPO; *) - li)p(i; *)] - (и)
j і
-EEMH)JPi(i;*)-^(ium(i;*)](|||)- (1»)
(10.66)
Можно сразу увидеть, что слагаемое (II) зануляется. Представим выражение (10.66) в следующем виде:
= і + г* + ці + ЦІ', (10.67)
dt
где, Ґ получается из I и ІІҐ — из III (без изменения их значений), посредством перестановки индексов суммирования і и j. В этом случае получаем:
і +1' = M1і)р(і; *) - «-«О I J)P(I; 0] X
""P1(M)/ "4Pi(U) = E K(J I OJP(I; *) - w*(i I i)p(i; *)]ln *(ь и *) =
= 2 J2wt(j M)P(M) In X(j,U), (10.68)
где обозначено
419
Математические методы
Часть III
После перестановки индексов суммирования получим
III + III' = ]Г [wt(\ I J)P1(I; t) - wt(j I I)P1 (і; *)] X
'PQ-J) P(M)' P1(JJ) P1(IJ),
= [мі I J)PO; О - «*(і I J)PiO; *)~
-^,№(і;і)ж-Ш+^іі)р(м)}
= 2 X) wtOM)P№ 0•[J-JTO, і;*)]- (
(10.70)
Подставим (10.68) и (10.70) в (10.67) и получим окончательное выражение для производной H (t):
= X) ««о I *)P(i; ОО" хо, і; о - *0> j; 0 + U- (юл)
{In(X)-X + l} =0 только для a=L
Так как wt(j \ \)P(vJ) > 0, то из (10.71) и (10.72) следует, что производная H(t) всегда отрицательно полуопределенна, т. е. свойство (2) выполняется.
Доказательство (3). Если XO, і; 0 — 1 Для всех паР J>1 состояний, PiO; 0 должны быть пропорциональны PO^O ^7151 всех J-Вследствие условия нормировки (10.59), оба распределения должны быть идентичны. В результате (10.71) и (10.72), (10.73) производная H(t) обращается в нуль, когда PO; 0 совпадает с P10; О-Но также верно и обратное утверждение, при условии связности
Теперь легко проверить, что
{In(X)-X + !} ^O
для X > 0,
(10.72)
и>,0М) иР(!:0>0.
420
Основное уравнение
Глава 10
ЕСЛИ -др = 0, и ЄСЛИ ДЛЯ иеПИ состояний I0, Ї1, - • •Jn-IJn=JO
с произвольными i0, jo имеются положительные потоки Wt(\i I i0) P(i0; J) > 0,..., wt(k I i„_i)P(i„_i; J) > 0, тогда (10.71) может быть выполнено только для
Z(Ii1 S0; J) = X(I2,11;*) = ... = XQ0, ln-i; *) = 1. (10.73)
с произвольными io и jo, т.е. распределения P(J) и P1(J) должны быть пропорциональны. Вследствие их нормировки они должны быть равными.
Подводя итоги, мы заключаем, что благодаря свойствам 1), 2) и 3) функционала JY(J), любые два решения P(j; J) и P1 (j; J) основного уравнения приближаются друг к другу с течением времени. При J —> оо они совпадают и функционал H(J) достигает своего минимального значения Я(оо) = 0. Это утверждение сохраняется даже для зависимых от времени скоростей перехода wt{} | і), которые удовлетворяют условию связности. Если скорости перехода не зависят от времени, тогда здесь существует (по крайней мере) одно стационарное решение Pst(j) основного уравнения.
10.4. Точное решение основного уравнения
Решение нестационарного конфигурационного основного уравнения (10.37) может быть получено только численно. Однако существуют некоторые нетривиальные частные случаи, для которых можно получить аналитическое решение уравнения (10.37).
Рассмотрим один из них. В этом частном случае интенсивности перехода в уравнении (10.37) имеют форму
Это означает, что
P(I0; J) = P(IbJ) P1(I0; J) Pi(If5J)
PiO0;*)
(10.74)
специального вида
Wji(n;t) =pji(t)ni
(10.75)
421
Математические методы
Часть III
wi+(n; t) = ?ifii, (10.76)
Wi-(Kt)=HiTIi. (10.77)
В отличие от (10.29), (10.30) и (10.31) индивидуальные интенсивности Pji(t),?i и \іі нє ЗаВИСЯТ от П, ПОЭТОМУ Wji, Wi+, Wi- —
линейны по Пі . Индивидуальные миграционные интенсивности перехода из і в j представим в виде
Pji(t) = fiji(t) ехр {uj(t) - Ui(t)}, (10.78)
где.
[Uj(t) -m(t)] = i]n
>ji(0
Рассмотрим чисто миграционный случай, т. е. /? и распределение вероятности:
тг(п; ?)
Отсюда сразу следует, что
Р(П;ь0 =
7г(п,г-; t)
(10.79)
(10.80) /хг- = 0
(10.81) (10.82)
Tt1In2I... nLl (Ti7- +I)'
Подставляя (10.83) в конфигурационное основное уравнение (10.37) и используя (10.75), получаем уравнение для 7г(п; t):
L
У~] {niPij(t)*(nji; t) - nipji(t)ir(n; t)}. (10.83)
i,j=l
dir(n; t) Jt
Решение этого уравнения будем искать в виде: х(п;*) = П^(*)]-.в-^>,
(10.84)
где Vi нужно определить подходящим образом.
422
Основное уравнение Глава 10
Прежде чем делать это, покажем, что формула (10.84) для 7г(п; *) приводит к легко интерпретируемому случаю для распределения вероятности (10.82). Подставляя (10.84) в (10.82), получим
М*)Р-*«>
J=I
(10.85)
Это не что иное, как L-мерноераспределение вероятности Пуассона. Оно нормировано, т. е.
E о = П (E W^) = П im = >• 00.86)
Более того, известно, что для пуассоновского распределения (10.86) V{(t) имеет смысл среднего значения щ{Ь)\
'OP(n;i)
E
+ Р(п;*)
Mt) = ^t(O-
(10.87)
L оі/ж-(і)
Здесь использовалось условие нормировки (10.87) и его следствие
