Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
(8.4.11)
ГХ(*, X) 1 [x»(t, X)J-
(8.4.12)
Точно так же Im А (К) можно интерпретировать как коэффициент, отвечающий Xя (t, Я), в той же регрессии.
Ковариационная матрица для ошибки этого регрессионного анализа такова:
X
Reixx(X) ImI31x(X)I^ Г ReiXY(X) -lmtxx(X) Re (A)J [-lmixr(X) Re{tyy(X)-tyX(X)1xx(X)-4xr(X)} Re fM - (8.4.13)
Тем самым оказывается, что действительные части частных коге-рентностей можно интерпретировать как частные корреляции, фигурирующие в регрессии Y(i, А,) на величину (8.4.12). Аналогичное рассуждение для мнимых частей приводит к интерпретации и.х как частных корреляций, фигурирующих в регрессии \"(t, X) на величину (8.4.12). .
Если s=l, то квадрат коэффициента множественной корреляции регрессии Y (t) на величину (8.4.12) равен
[Re^(A) ImIn(K)]
Retxx(X) 1т1хх(Х) ¦lmfxx(X) Re f ХХ(Х)
*l-Imf„(*)J/'"<X>
_ hxW *хх(Ь)-Чху W
fyy(l)
= \RYX(X)\\ (8.4.14)
Поэтому коэффициент множественной когерентности можно интерпретировать как квадрат коэффициента множественной корреляции Y (t) с выражением (8.4.12).
Завершим параграф описанием нескольких полезных параметров. В общем случае величины, являются комплексными, но практически может быть удобно работать с действительными параметрами Re АаЬ (X), Im АаЪ (X) или с модулем Gab (X) = | АаЬ (X) | и аргументом фаЪ (X) = arg АаЬ (X). Рассмотрим случай г = s — 1. Величина G (Х) = \А (X) | называется приростом амплитуды Y (t) по сравнению с X (t) на частоте X. Функция G (X) неотрицательна,
G (—X) = G (X) (8.4.15)
и
G (Х + 2л) = G(X)1 —оо < Я< оо. (8.4.16)
Если
У (І) = 2 a (t - и) X (u)t (8.4. і у)
ТО
in {%) = і л (Щ!хх (X) =
= G(X)*fxx(X). (8.4.18)
Выражение (8.4.18) показывает происхождение термина „прирост". Амплитуда компоненты Y (t) на частоте X отличается от амплитуды соответствующей компоненты X (t) множителем G(X). Взяв в качестве примера Y(t) = aX(t — и), получим
G(X) = \a\. (8.4.19)
В данном случае прирост —это абсолютное значение коэффициента регрессии, оно постоянно для всех X.
Функция Ф (X) = arg A (X) называется фазой между Y (t) и X (t) на частоте X. Главной областью изменения функции Ф (X) является промежуток (—я, л]. Поскольку fxx(X)^Q, функция ф(Х) определяется формулой
ф (X) = arg fvx(X). (8.4.20)
Так как
ф(-Х) = -ф(Х), (8.4.21)
то Ф (0) = 0. Кроме того,
ф(Х + 2п)=ф(Х) (8.4.22)
Пусть
Y (t) = 2 a (t - и) X (и). (8.4.23)
и
Применим преобразование Крамера:
J еш dZY (X) = \ ешА (X) dZx (X)
= J eiUG (X) е1*^Ulx(X). (8.4.24)
Тем самым ф (X) можно интерпретировать как фазовый угол между компонентой X (t) с частотой X и соответствующей компонентой ряда Y(t).
Если, например, Y (t) = аХ (t — и), то
ф(Х) = — Xu (mod2л) при сс>0 (8.4.25)
и
ф(Х) = я — Хи (mod 2я) при а < 0. (8.4.26)
Графики этих двух функций изображены на рис. 8.4.1 и 8.4.2, причем в качестве области изменения Ф(Х) выбран промежуток (—л, л].
\ \ п
\ ' 4
\ \
о ( \
\ \
-ТС
X
Рис. 8.4.1. Фазовый угол Ф (К), соответствующий запаздыванию на и единиц времени, в случае а > 0.
-Я
Рис. 8.4.2. Фазовый угол Ф(Х), соответствующий запаздыванию на и единиц времени, в случае а < 0.
В ряде случаев легче интерпретировать функцию
-T=->g/™W. <8-4-27>
Она называется групповым запаздыванием Y (t) по сравнению с X (t) на частоте X.
В рассмотренном примере при всех значениях а групповое запаздывание равно и. Иными словами, на такой промежуток времени Y (t) запаздывает по сравнению с X(t).
Отметим, что групповое запаздывание определено однозначно, в то время как Ф (X) определяется только с точностью до слагаемого, кратного 2я.
8.5. Предельное распределение оценок
В этом параграфе мы определим предельное распределение оценок, введенных в предыдущем параграфе, при T —*оо, но при фиксированном т. Пусть
X(O
Y(O
(8.5.1)
так что
Введем
lzz(A,)"Li^W (X)J * (8'5-3)
Пусть m — неотрицательное целое число и s(T), 7 = 1, 2,
такая последовательность целых чисел, что 2ns (T)IT —* А, при
Г—^оо. Следуя § 7.3, полагаем
m
(2m+ I)-1 ? 1^(2" "^ + *1) , если Я^О (modя),
s= -m
m
m-^Re liz (х + ^) , если X-0, ±2я, ...или
— ^ s=l v у если X= ± я, ±3я, ...
и T четно,
т
Hi-1Y4 Re їй (x-? + ^-s) , если ± Ji1 ±3я, ... s=i Vi-// и г нечетно# (8.5.4)
Теперь построим оценки
A(^(X) = f(^(X)f^(X)^, (8.5.5)
gi? (X) = С (т, г) [f(# (X) -f(/i (X) f$ (X)-4^ (X)], (8.5.6)
где
(dSrb при X^O (mod2я),
С(т, г)= J (8.5.7) ( 2hTZTr при Х = &(то(1л;).
При больших т выполняется С (m, r) JLl и определение (8.5.6) упрощается. Образуем также
Л^-х(Я)=[^.(м?ймГ (8'5'8)'
при а, Ь=1, .... s и, если s= 1, введем
I *™<*) I =--. (8.5.9)
Теорема 8.5.1. Пусть (г• + s)-мерный ряд (8.5.1) удовлетворяет условию 2.6.1 и имеет матрицу спектральной плотности (8.5.2). Предположим, что в оценке (8.5.4) этой матрицы т и s(T)— целые числа и 2ns (T)IT -+X при Т-+оо. Пусть матрица
