Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
6.14.30. Пусть Y (t) и X(O связаны соотношением (6.1.1). Пусть Xy(Jf) заменено на Xj (t) + ехр {Ш}, остальные компоненты X(Z) оставлены без изменений. Какую пользу можно извлечь из этого для интерпретации Aj (Я)?
6.14.31. При соблюдении условий теоремы 6.6.1 покажите, что Dp^Bf^T-ifci J W (a)2 da/88(0)
X { #)Tf & (О)""1 Ь{Рх (0) f& (О)"1 #>} +0 (7-і).
6.14.32. Рассмотрим полную модель (6.12.3) вместо упрощенной (6.12.2). Пусть [а/Г) (— m).. .а/Г) (w)], / = 1, 2, 3, являются для этого случая аналогами оценок аіГ), агГ), азГ).из§6.12. Покажите, что ковариации cov {а/Г)(«), а/Г) (у)}, / = 1, 2, 3, равны приблизительно величине B^lT"x2n^ W (a)2 ofa, умноженной соответственно на
,-.2м,{<^.(.-ч};.(^)іВ(^)-*,
|Е«р{'^<«-»)}'й(^)}"1
*Ш«*{<^<«-°>}ъ(^>й(Т)} jS4{^M}/.(fl-e(^))-'.
ОЦЕНКИ СПЕКТРА ВТОРОГО ПОРЯДКА МНОГОМЕРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
7.1. Матрицы спектральной плотности и их интерпретация
В этой главе мы, обобщая результаты гл. 5, будем изучать совместное поведение статистик второго порядка компонент многомерного временного ряда.
Пусть X (О, t = 0, ± 1, ...,— многомерный временной ряд с компонентами Xa(t)y ? = 0,. ±1, где а=1, г. Пусть
EX(Z)=C,, (7.1.1)
E [X (/ + и) -Cx] [X (/) -cxY = cov {X (t + и), X (t)\ = схх (и) (7.1.2)
для ty U = O1 ±1, .... Отдельные компоненты вектора Cx обозначим через са, а= 1, г; таким образом, са = ЕХа(t) является средним ряда Xa(t), t = 0y ±1, ... . Элемент в пересечении строки а и столбца b матрицы схх(и) обозначим через саЬ(и), а, 6=1,... ..., г, так что саЬ (и) есть кросс-ковариационнай функция ряда Xa(t) и ряда Xb(t). Заметим, что для U = 0, ±1, ...
cxx(uf = cov{X(t)y X(t + u)} = cxx(-u). (7.1.3)
Предположив, что
2 Кь (ы) I < оо для а, Ь = 1, .,., г, (7.1.4)
w= - cc
определим матрицу спектральной плотности ixx(k) частоты К ряда X(O, t = 0, ±1, следующим образом:
*н(*Н(2и)-1 2 ехр схх(и). > (7.1.5)
h = - oo
Очевидно, что элемент fab (К) в пересечении строки а и столбца Ь матрицы. \хх(к) является спектром мощности ряда Xa(t)> если а = Ъу и кросс-спектром ряда Xa(t) и ряда Xb(t), если афЬ. Заметим, что \хх(к) имеет по К период, равный 2я. Ввиду того что компоненты схх(и) действительны, из (7.1.3) следует
hPM==hx(-ty = ixx(W- (7.1.6)
7.1. Матрицы спектральной плотности и их интерпретация
251
Согласно последнему выражению матрица \хх(к) эрмитова. Отсюда следует, что в качестве основной области определения можно выбрать интервал [0, я]. Как видно из теоремы 2.5.1, fxx(к) положительно определена, fjrxM^O, —оо<А,<оо; это означает, в частности, что спектр мощности действительного ряда неотрицателен.
Пример 2.8.2 показывает эффект фильтрации матрицы спектральной плотности. Пусть
во
Y(O= 2 а(<—a)X(u), f = 0, ±1, (7.1.7)
и— - во
для фильтра с матрицей размерности sxr, имеющего передаточную функцию
во '
A(A,)= 2 а (и) ехр {—Ли}, — оо<Я<оо; (7.1.8)
в таком случае матрица спектральной плотности ряда Y (t) для — оо < к < оо имеет вид
»^) = А(1)»нМЩ (7.1.9)
Из определения матрицы спектральной плотности следует, что
я
Cyy(u)= J exp{iau}fyY(a)da, (7.1.10)
- -я
где и = 0, ±1, .... Из выражений (7.1.9) и (7.1.10) получим ковариационную матрицу ряда Y (t),
я
сук(0) = cov {Y (О, Y(O}= J A (a) !Ja(O)A(COV**. (7.1.11)
-Я
Чтобы дать интерпретацию fxx(h), рассмотрим применение этого результата для 2г-координатного фильтра с передаточной функцией
А (а) =
1 п
- і sgn к
_ —tsgnA,
(7.1.12)
для |а±Х|<Д и равной 0 для всех других частот fxx(X). (В (7.1.2) мы использовали определение фильтра по теореме 2.7.1.) Если А достаточно мало, то выход этого фильтра есть 2г-мерный ряд
"X(f, X) I
содержащий компоненту частоты X, введенную в § 4.6. Исследуя выражение (7.1.11), получим следующий приближенный результат:
(7.1.14)
или
. О ІХХ(Х)_
2Д
)] = 2Д^х(Ь)*, если X = O (mod я). (7.1.15)
Оба этих приближения приводят к полезной интерпретации Refxx(X) как величины, пропорциональной ковариационной матрице X(t9 X) (компонента частоты X в Х(/)), a Imfxx(X) как величины, пропорциональной кросс-ковариации Х(/, X) и ее преобразования Гильберта Xя (t, X). Коспектр Re fab (X)1 полученный из Ха (t) и Хъ (t), пропорционален ковариации компоненты частоты X в ряде Xa(t) с соответствующей компонентой ряда Xb(t). Квадратурный спектр Im fab (X) пропорционален ковариации гильбертова преобразования компоненты частоты X ряда Ха (t) с компонентой частоты X ряда Xb(t). Будучи ковариациями, оба приведенных приближения являются мерами линейной зависимости.
Интерпретируя матрицу спектральной плотности fxx(X), полезно также напомнить некоторые свойства второго порядка представления Крамера. Согласно теореме 4.6.2, для X (t) справедливо представление
X(O = S ехр {1'MJdZj(X), (7.1.16)
о
t — 0, ±1, . - причем стохастическая функция Zx(X) удовлетворяет соотношению
cov JdZx(X), dZx (|л)} = ц(Х — \i) ixx (X) dXd\i, (7.1.17)
