Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 75

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 163 >> Следующая


6.14.11. Пусть Yy, / = 1, ..., /, есть 1 х г-матричная случайная величина cEYy = p, E {(Yy-P)MYa-P)Hd(Z-^Vy для КДокажите, что наилучшая несмещенная линейная оценка P задается выражением

P=Sw[I1Vr1] •

Указание: использовать упр. 6.14.2 и 6.14.8 и упр. 1.7.6 в случае г = 1.

Показать, что E {(р-р)т ([T-P)J = [SyV/"1]"1.

6.14.12. Пусть выполняются условия теоремы 6.2.4. Покажите, что в случае ортогональности двух столбцов матрицы X соответствующие элементы а статистически независимы.

6.14.13. Покажите, что оценка (к) спектра ошибок, задаваемая (6.4.5), неотрицательна.

6.14.14. При |#ухМ|2» определенном по формуле (6.4». 11), покажите, что выборочный спектр мощности Y (t) можно интерпретировать как пропорцию, определяемую значениями X(O-

6.14.15. Покажите, что статистики А(Г) (k), (к) не зависят от значений выборочных средних с^г\ С(у К

6.14.16. Докажите, что /(/| (к) ^ (к), используя определения § 6.4.

6.14. Упражнения

247

6.14.17. Пусть а—вектор размерности k. При условиях теоремы 6.2.4 покажите, что

|аа-?о|<(2^аЛ; а(я.Л).(Р))1/4а (а (xXVV)1"

дает ЮОр-процентную многомерную доверительную область для всех линейных комбинаций элементов вектора а. (Эта область является комплексным аналогом области Шеффе, см. Miller R. G. (1966, стр. 49).)

6.14.18. Сохраним обозначения теоремы 6.2.3 и обозначим /-ю строку в X через Xy, где XyX/ = Су, /=1, k, при некоторых заданных C1, С%. Докажите, что

E |2у-aj I2

и минимум достигается, когда XyX^ = O, k ф /, т. е. строки в X ортогональны. (Этот результат для действительных величин получен в работе Rao (1965, стр. 196).)

6.14.19. Пусть переменная w имеет распределение Ni (ц, а2), /? = |а;|, р = I |, 7 = arg wt Ф = arg \i. Докажите, что функция плотности для R представляется в -виде

2Ro-* ехр {- (#2 + т2)/а2} /0 (2Яр/а2),

где /0 (х) есть бесселева функция порядка 0 первого рода. Докажите, что

Eflv = avr (v/2+l)ifi(-v/2; 1; p2/a2)

для V > 0, где 1F1(Q!; Ь\ х)—вырожденная гипергеометрическая функция. Оцените ER, если р = 0. Докажите, что функцию плотности / можно представить в виде

(2Jt)"1 ехр {—P2Ci-2 sin2 (f—<t>)}[Vnp*o-* cos (/—0)

+ г/7! (—1/2; 1/2; -p2a-2 cos2 (/-*))J;

см. Middleton (1960).

6.14.20. Пусть

у = а*+е,

где e есть sXAi-матрица, столбцы которой суть независимые переменные с распределением Ns (0у 2), а есть sx/"-матрица неизвестных комплексных параметров, х есть г X «-матрица известных комплексных элементов и у есть SX/!-матрица известных комплексных переменных. Пусть

а = ухх(ххт)~1

и

?=(я-г)-іу (1-і? (XxV1X) ут. Докажите, что а имеет распределение A/?s(veca, S ® (хх*)""1) и S не зависит от а и (я—T)^1IT?(п—Гу S). Операции vec и ® определены в § 8.2.

6.14.21. Пусть заданы матрицы х и у размеров sxn и гхп соответственно с комплексными элементами. Покажите, для заданных с X s-матрицы С, г X и-матрицы U и сХи-матрицы Г, что при ограничении CaU=T, минимизирующем

tr {[у—ах] [у—ах]т}, sXr-матрица а задается выражением

а* = а—С* (CC"*)-1 [CaU-Г] [Ш (XxV1U]-1 U* (хх*)-1, где а= ухт (хх*)-1 и предполагается существование обратной матрицы,

6.14.22. Докажите при условиях теоремы 6.6.1, что cov {Re А<г> (Х)т, ReA<r>Oi)T}

I=Bj1T-1Ti^W (a)2 da [ц {X -\і) + ц {X + ^}] Re ЧГ<Ъ (X) + 0(?-1), cov{ReA<r>(X)T, ImA^)(JiH = O(T-1), cov{lmA<n(X)\ lmAW(\if}

= В j1T - 1Jt J W (а)2 da [r\ {X - \i} - r\ {X + ц,} ] Re W<r> (X) + О (Г - 1J.

6.14.23. При соблюдении условий теоремы 6.4.2 докажите, что

{А< л (X) - А (X)} і W (X) {A^) (Ц-А(ЦТ

стремится к (2/n+l)-1/еє(Я)х2г независимо от gee* M для X== О (mod я). Получите соответствующий результат для случая X = O (mod л).

6.14.24. Пусть в выражении (6.4.2) т = Т — \. Докажите, что А(Г> (к) есть

(?1 [YH)-W] [х(о-су>]4 / s° [X (о-с<;>] [х w-cjpjA"1,

W=O ) U=O J

где <фГ) и с^ — выборочные средние величин У и X. Найдите связь этого результата с коэффициентом множественной регрессии Y (t) по X (t).

6.14.25. При соблюдении условий теоремы 6.4.2 и A(X) = O докажите, что для X^O (mod я),

№ W Г = »(Л W »й W-1® (X)//^ (Я)

стремится по распределению к

[(2m -!-I —г) г-1

где F имеет ^-распределение со степенями свободы 2(2m-f 1— г) и 2г.

6.14.26. Пусть F(/), ?(/) = 0, ±1, суть s-мерные случайные ряды, /Li есть вектор размерности s и а (0 есть sX/'-матричная функция. Пусть, далее,

oo

Y(O = I*+ 2 а(*-и)Х(и)+е(<).

m= - qo

Получите оценки А(Г> (X) передаточной функции {а (и)} и ggp (X) матрицы спектральной плотности є (t); Brillinger (1969а).

6.14.27. Пусть (X) стремится к ixx(X) равномерно по X при T —> оо

и Il 1XX (Щ I!fxxW"1Il <К, — оо < X < оо, для конечных К. Докажите, что условие 6.5.2 выполнено.

6.14.28. Докажите, что величина ^Px (X)* определенная в (6.5.5), неотрицательно определена, если W (а)^0. Докажите также, что ggp (X), определенная в (6.5.9), неотрицательна при этом условии.

6.14.29. Пусть X1(O = 2аь(' —")х (")» гДе {Ь (и)} —суммируемый г Xr-фильтр с передаточной функцией В (X). Пусть В (X) несингулярна, — оо < X < оо. Докажите, что Xj(O, f = 0, ±1, удовлетворяет условию (6.5.2^ если X (/), t = 0, ±1, удовлетворяет этому же условию.
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed