Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
х/т
Рис. 6.Ю.8. Оценка когерентности )/??^)!2 температур в Берлине и Вене за 1780—1950 гг. (По горизонтали—частоты в цикл/меся&)
Ь
1.0 .9 .8 Л .6 .5 .4 .3 .2 .1
і • і_і_і_і_і «і* і і і » <* » і f і ¦* »
-50 -40 -30 -20
-10
О
а
10 20
30
40
50
Рис. 6.10.9. Оценка коэффициентов фильтра а<г>(ы) для приведенного ряда температур в Берлине рядом температур в Вене. (По горизонтали—упреждение или запаздывание в месяцах.)
в котором спектр мощности е (t) имеет вид нижней кривой на рис. 6.10.3. Мы подправили мгновенное соотношение методом наименьших квадратов и пришли к простым регрессионным коэффициентам Y (t) и X(t)y равным 0.81. Если допустить, что е (t) независимы и одинаково распределены, то соответствующая оценочная стандартная ошибка равна 0.015. Оценочная дисперсия ошибки равна 1.57.
В качестве второго примера приведем результаты частотной регрессии ряда среднемесячных температур, отмечавшихся в Гринвиче по отмеченным среднемесячным температурам в остальных тринадцати местах, указанных в табл. 1.1.1. Мы подвергнем эти ряды предварительной фильтрации, устранив месячные средние и линейный тренд. Исходные данные для этого случая представлены на рис. 1.1.1.
Построим оценки таким же способом, как в (6.4.1)-(6.4.5), полагая в них т = 57. Необходимые для этих вычислений преобразования Фурье мы определим при помощи алгоритма быстрого преобразования Фурье с 7^ = 2048. Для рассматриваемого случая на рис. 6.10.10 представлены G)T)(l), Ф)Т)(Ц, где /=1» 13; на рис. 6.10.11 изображен график Igg&ity; на рис. 6.10.12 представлена величина \R(Yx(k)\2, определяемая
Рис. 6.10.10. Оценочные амплитуды и фазы для сезонно приведенного вычитанием ряда температур в Гринвиче, полученные по подобным рядам температур других тринадцати станций за 1780—1950 гг.
Эдинбург Де-Билт Будапешт Стокгольм
Рис. 6.10.11. Логарифм оценочного спектра ошибок для приведенного ряда температур в Гринвиче \gg$Qb) по температурам на остальных тринадцати
станциях.
о х я
Ptic. 6.10.12. Оценка множественной когерентности I R(yx M I2 ряда температур Гринвича и остальных тринадцати станций.
выражением (6.4.11). Спектр мощности для Гринвича приведен на рис. 7.8.8.
В табл. 6.10.1 приводятся результаты мгновенной множественной регрессии для ряда Гринвича по остальным тринадцати рядам. Оценочная дисперсия ошибки такого анализа равна 0.269. Квадрат множественного коэффициента корреляции этого анализа равен 0.858.
Оценочные амплитуды Gp (К) колеблются как функции от X около горизонтальных уровней. Самые высокие уровни соответствуют Эдинбургу, Базелю и Де-Билту в указанном порядке. < Вместе с тем, как следует из табл. 6.10.1, станции в Де-Билте, Базеле и Эдинбурге имеют наибольшие выборочные коэффициенты регрессии, убывающие в этом же порядке. Каждая из оценочных фаз ф}Г)(Я), соответствующих данным станциям, близка к константе вблизи нуля, что указывает на отсутствие опережающих или запаздывающих фаз и на мгновенность связей этих станций.-Поскольку оценочные амплитуды остальных станций уменьшаются, функция оценочной фазы, как видно, становится более неустойчивой. Это же можно было предполагать из вида выражения. (6.6.9) для асимптотической дисперсии оценки фазы. Кроме того, наименьшая оценочная амплитуда соответствует Нью-Хейвену, штат Коннектикут, что можно объяснить большим удалением от Гринвича.
Таблица 6Л0.1.
Коэффициенты регрессии для ряда Гринвича по рядам для остальных городов
Город
Выборочный коэффициент регрессии
Оценочная стандартная ошибка
Вена
—0.071
0.021
Берлин
-0.125
0.023
Копенгаген
0.152
0.022
Прага
—0.040
0.010
Стокгольм
—0.041
0.016
Будапешт
-0.048
0.019
Де-Билт
0.469
0.022
Эдинбург
0.305
0.014
Нью-Хейвен •
0.053
0.009
Базель
0.338
0.016
Вроцлав
0.030
0.017
Вильнюс
^0.024
0.009
Трондхейм
—0.010
0.013
Как можно видеть, оценочная множественная когерентность \Ryx M |2 близка к константе, равной 0.87. Эта константа близка
к величине 0.858, полученной при мгновенной множественной регрессии. Наконец, оценочный спектр ошибок g$ (X) постоянно убывает при возрастании X.
6.11. Дальнейшие исследования
Вернемся к исследованию природы различных полученных нами результатов для независимых рядов X(t). Прежде всего рассмотрим смещение оценки А(Г)(Х). Как видно из выражений (6.4.8) и (6.5.14), математическое ожидание А(Г) (X) является матричным взвешенным средним А (а) с весами, зависящими от 1(хх(°0* Выражения (6.4.8) и (6.5.14) значительно упростятся, если предположить, что функция \(хх (а) близка константе по а и ее недиагональные члены близки к 0. Приближение к нулю недиагональных членов значительно упрощает вид А (а). Продолжая исследование остаточного члена (6.4.8), будем предполагать, что главную роль играет член со взвешенным средним в случае, когда PxX(X)-1Il мало или f(Px (X) не имеет острых пиков.
Далее мы рассмотрим асимптотические свойства второго порядка А(Г)(Х). Как следует из выражения (6.6.4) и теоремы 6.4.2, для того чтобы асимптотически уменьшить дисперсию элементов А(Г)(Х), нам следует выбирать X (/), ? = 0, ±J, таким образом, 'чтобы диагональные элементы fxx(X)"1 были достаточно большими. Пусть заданы диагональные элементы /}р(Х), j = lt... г, матрицы f(/x(X). Согласно упр. 6.14.18,
