Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Wj1I* {Im Ap (X) соэф/ (X)-Re Ap (X) sinfy (X)} (6.9.13)
-распределением /2<2от-і-г) с последующим нахождением границ интервалов алгебраическим путем.
Иногда может представлять интерес проверка гипотезы A (X) ==0. Она может проводиться с помощью аналогов статистик (6.2.9) и (6.2.10), а именно:
(2m —1) А<л (X) \Тх (X) A^T(I)T /слп.
и
I R9i (X) I2 = т (X) fi5 (X)-1^ (Х)//& (X). (6.9.15)
В случае A(X) = O статистика (6.9.14) имеет асимптотическое F2-, 2(2от+1_г)-распределение; соответственно последняя статистика имеет вид
[E±kzLF2(2m+i_rr2r+ly\ (6.9.16)
Обратимся теперь к задаче определения доверительных границ для элементов a.iT)(u). Подобно тому, как это делалось в § 6.8, вычислим статистику
^=Pf E&№)mf$-Y\- (6.9.17)
Пусть AJp обозначает /-й диагональный элемент Л(Г). Тогда теорема 6.8.4 в качестве приближенного ЮОР-процентного доверительного интервала для ау- (и) предлагает
flf> {и) - ^Pt1Bt1T-1TsI J W (a)2 daA}[>]1/2 г (i±fi) < ау (и)
<<> (w) + [Pf1B^r-12я (а)ЧаА)Ру2^ (^) • (6.9.18)
Совместные доверительные области для а/i (^1), ..., ау (wJ) могут быть построены с использованием неравенства Бонферрони; см. Miller (1966).
6.10. Рабочий пример
В качестве первого примера приведем исследование соотношения между рядом В {t) месячных средних температур в Берлине и рядом V {t) среднемесячных температур в Вене. Поскольку эти ряды обладают выраженной годовой изменчивостью, мы прежде всего посезонно выправим их, вычисляя средние значения для каждого месяца всего периода наблюдений и вычитая затем эти средние из соответствующих месячных величин. Если Y{t) обозначает" выправленный ряд для Берлина, то
K-I
Y{j+l2k) = B(j+ Wk)-K-1 2 5(/ + 12/0, (6.10.1)
k-o
/ = 0, 11; Aj = O, К—I и /С = Г/12.
Пусть X {t) обозначает такой же выправленный ряд для Вены. Эти ряды представлены на рис. 6.10.1 и 6.10.2. Исходные ряды •представлены на рис. 1.1.1.
P 10
I" 5
! 0 1 "5
1-ю
Wl.-
А лл
V 1
V
1920 1921 1922 1923 1924 1925 1926 1927 1928 1929 1930 ,
Год
Рис. 6.10.1. Сезонно приведенный ряд среднемесячных температур по Цельсию для Берлина за 1920—1930 гг.
V 10
I 5
I ;
і -5
»5? -10
1920 1921 1922 1923 1924 1925 1926 1927 1928 1929 1930
Год
Рис. 6.10.2. Сезонно приведенный ряд среднемесячных температур по Цельсию для Вены за 1920—1930 гг.
Выбранный нами для этих температурных рядов период включает в себя годы 1780—1950. Определим различные статистики таким же способом, как в § 6.4. Выбирая в действительности T = 2048, можно вычислить необходимые дискретные преобразования Фурье с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье. Для статистики /уу(Х), /(у?М> fxx M положим m=10.
Результаты вычислений приведены на ряде рисунков. Рис. 6.10.3 представляет собой графики lg/yy-(X) и lggee}(X), первый из которых представлен верхней кривой. Если мы воспользуемся выражениями (5.6.15) и (6.6.12), то можем найти асимптотические стандартные ошибки этих величин, равные в обоих случаях 0.095 для Jt^O (mod я). На рис. 6.10.4 изображен график величины ReA(T)(X), изменяющейся вблизи значения 0.85; на рис. 6.10.5— трафик величины Im Л(П(Х),изменяющейся вблизи 0; на рис. 6.10.6— .график величины G(r>(X), значения которой расположены вблизи 0.9; на рис. 6.10.7 представлен график значений Ф(Т)(к), расположенных вблизи 0; на рис. 6.10.8 —график величины \ R(Yx(k)\2, которая изменяется вблизи 0.7. Напомним, что эта статистика указывает ту степень, в которой ряд Y линейно определен рядом X. На рис. 6.10.9 изображен график а(Т)(и) для |t/|<50. Как следует из (6.8.7), асимптотическая стандартная ошибка этой статистики равна 0.009. Значение а(Т) (и) равно 0.85. Другие значения несущественно отличаются от 0.
Наши вычисления приводит к соотношению
у 0) = 0.85* (0+8(0.
(6.10.2)
Рис. 6.10.3. Оценки спектра мощности для температур в Берлине и спектра' ошибок сезонно приведенного ряда температур в Вене за 1780—1950 гг. (логарифмический масштаб). (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)
к/гп
Рис. 6.10.4, Оценка действительной части передаточной функции Re Л<г> (К) для приведенного ряда температур Берлина температурами в Вене. (По горизонтали—частоты в цикл/месяц.)
Х/27Г
Рис. 6.10.5. Оценка мнимой части передаточной функции Im Л(Г) (к) для приведенного ряда температур Берлина температурами в Вене. (По горизонтали—
частоты в цикл/месяц.)
Х/2л
Рис. 6.10.6. Оценка амплитуды передаточной функции G^(K) для приведенного ряда температур Берлина температурами в Вене. (По горизонтали—частоты в цикл/месяц.)
Рис. 6.10.7. Оценка фазы передаточной функции <?<г>(Я) для приведенного ряда температур в Берлине температурами в Вене. (По горизонтали—частоты
в цикл/месяц.)
1.0 р .9 -
.3 • .2 -Л •
О Л .2. .3 .4 •S
