Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
VMPx(O)IT
стремится к /-распределению Стьюдента с 2т степенями свободы. (Этот результат может быть использован для указания приблизительных границ доверительных интервалов для Cx-)
5.13.26. Пусть X (t), / = 0, ± 1, ...,—действительный ряд, причем EX (/)=0 и cov {X (/+w), X (t)} = cxx(u) Для и = 0, ± 1.,____Предположим, что
2 I I < <*•
и
Докажите, что существует конечное /С, такое, что
E{fc&(a)-m&(ii)|}<?
для и = 0, ± 1, ... и Г = 1, 2.....
5.13.27. Пусть действительный ряд X(t), / = 0, ±1, ... , получен из авторегрессионной схемы
X (t) + a(\) X (t— I)+ ... + а (т) X (f — m) = e (О
для / = 0, ± 1, где є (^ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин со средним 0 и конечным моментом четвертого порядка. Допустим, что корни уравнения
^ + 0(1)2*-1+ ... + а(т) = 0
таковы, что I г I > 1. Пусть а(Г>(1), а(Г> (т)—оценки для а(1), я(т), полученные методом наименьших квадратов и минимизирующие выражение
7-і
2 [X (0 + «(Г) (1) X (/ -1) + ... + а<г> (ш) X (/--т)]2.
т
Покажите, что У T [aST) (1) — а (1), ..., а(Г) (т) — а (т)] стремится по распределению к Nm(0r [cyv(/ — при T—> оо. Этот результат получили Мапп, WaId (1943).
5.13.28. Докажите, что если функциЩРРР} на [0, 1] удовлетворяет для некоторого а, 0 < а^ 1, условию |g (х)~—щ(у) | ^ G \ х—у |а, то
1 п
о k= і
/Iа •
5.13.29. Покажите, что для функции /х#М> заДанн°й формулой (5.6.1)» выполнено
2я
S
о
J /&(а)Ах-с&(0).
......... 1 -IP1 11 ,.¦¦„, і . .
5.13.25. Покажите, что в условиях теоремы 5.4.3 распределение величины
5,13.30. Пусть помимо условий теоремы 5.2.1 выполняется сх=0. Покажите, что
Urn Г[Е/&(Я)-/„(Х)]
=-(4*)-1 J Г/»(*+а)-2/я(Х) + ^(Х-а)1/Ї8ІпаЛг]»Лв.
-я
5.13.31. Покажите, что в условиях теоремы 5.10.1 величина
асимптотически нормальна, причем (X) = Я+0 (Г-"1) и
cov {G& (Я,),
Я JLl
2я 2л Г Г
~ — min(A,, Ji)+ -^-J J fxxxxfr, P. - a)fxxfr)-1 fxxft)'1 d<*d$.
о о
5.13.32. Пользуясь результатом упр. 2.13.31, покажите, что выражение (5.11.20) может быть записано в виде
E {(в<г>-6)т (9<г>--Є)} ~ Nj^nmfl (0)-* J fu (a) I <J> (a) dam<?> (0)-*.
5.13.33. Покажите, что в обозначениях § 5.11 выполняется неравенство fxx W ^ gxx (X) для всех Я.
АНАЛИЗ ИНВАРИАНТНЫХ BO ВРЕМЕНИ ЛИНЕЙНЫХ СООТНОШЕНИЙ МЕЖДУ СТОХАСТИЧЕСКИМИ И НЕКОТОРЫМИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМИ РЯДАМИ
6.1. Введение
Пусть Y(t) и e(tf), t = О, ±1, ..., — стохастические действительные временные ряды, а Х(/),^ = 0, ±1.....—фиксированный векторный временной ряд с г компонентами. В этой главе будут рассматриваться соотношения вида
OO
F(o = H+ S а(*-и)Х(и) + е(*)> (6.1.1)
«=-00
где fx —некоторая константа, {а (а)}— линейный 1хг-фильтр. Будем предполагать, что ряд ошибок є (Z)—стационарный ряд со средним 0 и спектром мощности /ее (к). Назовем этот спектр мощности спектром ошибок. Он указывает ту степень, в которой ряд Y (t) определен линейной фильтрацией ряда X (Z). Относительно результирующего ряда Y (Z) и основного ряда X (Z) сделаем допущение, согласно которому значения этих рядов известны при Z = O, Г—1. Поскольку Ee(Z) = O, то
00
ЕГ(0 = ц+ 2 а и)\(и). (6.1.2)
U = - OO
Таким образом, среднее значение ряда Y (Z) является результатом фильтрации ряда X(o- Заметим, что, вообще говоря, из (6.1.2) не следует стационарность ряда Y (Z). Вместе с тем для k > 1 выполняется
cum {Y (Z1), ..., Y (tk)\ = cum {є (Z1), ..., е (Z,)}, (6.1.3)
поэтому Y (t) имеет семиинварианты стационарного ряда, если только порядок их превышает единицу.
Передаточная функция фильтра а (и) задается выражением
00
A(A,)= S а (и) ехр {— іиЦ. (6.1.4)
M=S-OO
Рассмотрим влияние фильтрации рядов Y (Z) и X (Z) на поведение этой передаточной функции. Пусть Jb (и)} — линейный г X г-фильтр, имеющий обратный фильтр {с(a)}, a {d(и)} — линейный 1x1-фильтр. Полагая
Xi(o= S C(Z-U)X(W), (6.1.5)
M = - оо
получим
X(Z)= S Ь(*-a)X1 (и). (6.1.6)
И= - qo
Если, кроме того,
F1(Z)= S d(t — u)Y(и), (6.1.7)
M= - 00
(6.1.8)
и
со
E1(o= 2 d(*-«)e(«), (6.1.9)
M=-00
то соотношение (6.1.1) примет вид
mo = Hi.+ 2 (t-u) X1 (и) + мо, (6.1.10)
V = - 00
где
ax(/) = d#a#b(i/). (6.1.11)
Таким образом, соотношение между фильтрованными рядами Fi(Z), X1(Z) и B1(Z) имеет тот же вид, что и соотношение (6.1.1). В терминах передаточных функций (6.1.11) «можно переписать в виде
A1 (к) = D(k)A (к) В (к) (6.1.12)
или
А(Я) = Аі(^(Я,) . (6.1.13)
Как видно, передаточная функция, связывающая Y (Z) с X(Z), может быть определена с помощью передаточной функции, связывающей F1 (Z) с X1 (Z) в том случае, когда все необходимые Для этого обратные функции существуют.' Заметим, кстати, что такое же соотношение имеет место даже, если F1(Z) из (6.1.7) содержит X в виде
oo
2 t(t—u)X(u) (6.1.14)
U= -со
для некоторого lxr-фильтра {е(а)}. Это замечание будет играть особенно важную роль в дальнейшем при оценивании А (к) предварительным сглаживанием ряда.