Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 62

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 163 >> Следующая


VMPx(O)IT

стремится к /-распределению Стьюдента с 2т степенями свободы. (Этот результат может быть использован для указания приблизительных границ доверительных интервалов для Cx-)

5.13.26. Пусть X (t), / = 0, ± 1, ...,—действительный ряд, причем EX (/)=0 и cov {X (/+w), X (t)} = cxx(u) Для и = 0, ± 1.,____Предположим, что

2 I I < <*•

и

Докажите, что существует конечное /С, такое, что

E{fc&(a)-m&(ii)|}<?

для и = 0, ± 1, ... и Г = 1, 2.....

5.13.27. Пусть действительный ряд X(t), / = 0, ±1, ... , получен из авторегрессионной схемы

X (t) + a(\) X (t— I)+ ... + а (т) X (f — m) = e (О

для / = 0, ± 1, где є (^ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин со средним 0 и конечным моментом четвертого порядка. Допустим, что корни уравнения

^ + 0(1)2*-1+ ... + а(т) = 0

таковы, что I г I > 1. Пусть а(Г>(1), а(Г> (т)—оценки для а(1), я(т), полученные методом наименьших квадратов и минимизирующие выражение

7-і

2 [X (0 + «(Г) (1) X (/ -1) + ... + а<г> (ш) X (/--т)]2.

т

Покажите, что У T [aST) (1) — а (1), ..., а(Г) (т) — а (т)] стремится по распределению к Nm(0r [cyv(/ — при T—> оо. Этот результат получили Мапп, WaId (1943).

5.13.28. Докажите, что если функциЩРРР} на [0, 1] удовлетворяет для некоторого а, 0 < а^ 1, условию |g (х)~—щ(у) | ^ G \ х—у |а, то

1 п

о k= і

/Iа •

5.13.29. Покажите, что для функции /х#М> заДанн°й формулой (5.6.1)» выполнено



S

о

J /&(а)Ах-с&(0).

......... 1 -IP1 11 ,.¦¦„, і . .

5.13.25. Покажите, что в условиях теоремы 5.4.3 распределение величины

5,13.30. Пусть помимо условий теоремы 5.2.1 выполняется сх=0. Покажите, что

Urn Г[Е/&(Я)-/„(Х)]

=-(4*)-1 J Г/»(*+а)-2/я(Х) + ^(Х-а)1/Ї8ІпаЛг]»Лв.



5.13.31. Покажите, что в условиях теоремы 5.10.1 величина

асимптотически нормальна, причем (X) = Я+0 (Г-"1) и

cov {G& (Я,),

Я JLl

2я 2л Г Г

~ — min(A,, Ji)+ -^-J J fxxxxfr, P. - a)fxxfr)-1 fxxft)'1 d<*d$.

о о

5.13.32. Пользуясь результатом упр. 2.13.31, покажите, что выражение (5.11.20) может быть записано в виде

E {(в<г>-6)т (9<г>--Є)} ~ Nj^nmfl (0)-* J fu (a) I <J> (a) dam<?> (0)-*.

5.13.33. Покажите, что в обозначениях § 5.11 выполняется неравенство fxx W ^ gxx (X) для всех Я.

АНАЛИЗ ИНВАРИАНТНЫХ BO ВРЕМЕНИ ЛИНЕЙНЫХ СООТНОШЕНИЙ МЕЖДУ СТОХАСТИЧЕСКИМИ И НЕКОТОРЫМИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМИ РЯДАМИ

6.1. Введение

Пусть Y(t) и e(tf), t = О, ±1, ..., — стохастические действительные временные ряды, а Х(/),^ = 0, ±1.....—фиксированный векторный временной ряд с г компонентами. В этой главе будут рассматриваться соотношения вида

OO

F(o = H+ S а(*-и)Х(и) + е(*)> (6.1.1)

«=-00

где fx —некоторая константа, {а (а)}— линейный 1хг-фильтр. Будем предполагать, что ряд ошибок є (Z)—стационарный ряд со средним 0 и спектром мощности /ее (к). Назовем этот спектр мощности спектром ошибок. Он указывает ту степень, в которой ряд Y (t) определен линейной фильтрацией ряда X (Z). Относительно результирующего ряда Y (Z) и основного ряда X (Z) сделаем допущение, согласно которому значения этих рядов известны при Z = O, Г—1. Поскольку Ee(Z) = O, то

00

ЕГ(0 = ц+ 2 а и)\(и). (6.1.2)

U = - OO

Таким образом, среднее значение ряда Y (Z) является результатом фильтрации ряда X(o- Заметим, что, вообще говоря, из (6.1.2) не следует стационарность ряда Y (Z). Вместе с тем для k > 1 выполняется

cum {Y (Z1), ..., Y (tk)\ = cum {є (Z1), ..., е (Z,)}, (6.1.3)

поэтому Y (t) имеет семиинварианты стационарного ряда, если только порядок их превышает единицу.

Передаточная функция фильтра а (и) задается выражением

00

A(A,)= S а (и) ехр {— іиЦ. (6.1.4)

M=S-OO

Рассмотрим влияние фильтрации рядов Y (Z) и X (Z) на поведение этой передаточной функции. Пусть Jb (и)} — линейный г X г-фильтр, имеющий обратный фильтр {с(a)}, a {d(и)} — линейный 1x1-фильтр. Полагая

Xi(o= S C(Z-U)X(W), (6.1.5)

M = - оо

получим

X(Z)= S Ь(*-a)X1 (и). (6.1.6)

И= - qo

Если, кроме того,

F1(Z)= S d(t — u)Y(и), (6.1.7)

M= - 00

(6.1.8)

и

со

E1(o= 2 d(*-«)e(«), (6.1.9)

M=-00

то соотношение (6.1.1) примет вид

mo = Hi.+ 2 (t-u) X1 (и) + мо, (6.1.10)

V = - 00

где

ax(/) = d#a#b(i/). (6.1.11)

Таким образом, соотношение между фильтрованными рядами Fi(Z), X1(Z) и B1(Z) имеет тот же вид, что и соотношение (6.1.1). В терминах передаточных функций (6.1.11) «можно переписать в виде

A1 (к) = D(k)A (к) В (к) (6.1.12)

или

А(Я) = Аі(^(Я,) . (6.1.13)

Как видно, передаточная функция, связывающая Y (Z) с X(Z), может быть определена с помощью передаточной функции, связывающей F1 (Z) с X1 (Z) в том случае, когда все необходимые Для этого обратные функции существуют.' Заметим, кстати, что такое же соотношение имеет место даже, если F1(Z) из (6.1.7) содержит X в виде

oo

2 t(t—u)X(u) (6.1.14)

U= -со

для некоторого lxr-фильтра {е(а)}. Это замечание будет играть особенно важную роль в дальнейшем при оценивании А (к) предварительным сглаживанием ряда.
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed