Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы построить оценку fxx(X) по ряду X(uh)9 и = 09... . •., U — 1, T = Uh9 определим •
d(P(X)= S X (а Л) ехр {—ikuh\9 (5.11.41)
= ш \df (X)|», (5.11.4?
и затем, можем, например, воспользоваться сглаживанием периодограммы Ixxify-
Проблему подмены частот обсуждали Beveridge (1922), Press, Tukey (1956), Blackman, Tukey (1958).
5.12. Использование анализа спектров мощности
Различные области прикладных исследований, где частотный анализ может оказаться крайне полезным, уже упоминались в первой главе. В данном параграфе мы обсудим некоторые примеры практического использования спектров мощности.
Описательная статистика. Функция /? (X) часто вычисляется просто как описательная статистика наблюдений X(t)f / = 0, ... , T — 1. Она дает некоторую общую информацию о всей совокупности данных. В случае стационарного ряда она обладает хорошими выборочными свойствами. Обычно эта функция гораздо удобнее для исследования, чем основной ряд. Такое исследование опирается также на использование внутреннего механизма генерации данных. Таким образом Wiener (1957, 1958) изучал -биотоки мозга. Спектр мощности вычислялся также как непосредственная мера мощности в ваттах различных частотных компонент электрического сигнала; см., например, Bode (1945). В оптике [Wright (1958)], спектр мощности рассматривается как основная характеристика цвета объекта.
Как уже отмечалось, спектр мощности меняется элементарным образом при фильтрации ряда. Это использовали Nerlove (1964), Godfrey, Karreman (1967), чтобы вскрыть сезонную природу экономических временных рядов с помощью различных процедур. Gartwright (1967) с помощью таких процедур изучал приливы.
Некоторые другие примеры приводят Condit, Grum (1964), Haubrich (1965), Yamanouchi (1961), Manwell, Simon (1966), Plageman и др. (1969).
Неформальные критерии и различение гипотез. Использование спектра мощности для различения гипотез и построения критериев примыкает к использованию описательных статистик. При изучении цветов было замечено, что спектры объектов разных цветов изменяются определенным образом [Wright (1958)]. Carpenter (1965) и Bullard (1966) по наблюдаемым записям сейсмических колебаний изучали их спектры мощности, надеясь отличить на этой основе землетрясения от подземных ядерных взрывов. Точно так же сравнивались спектры сигналов биотоков мозга, полученные от здорового и ^психически больного пациентов, в надежде получить способ диагностики; см. Bertrand, Lacape (1943), Wiener (1957), Yuzuriha (1960), Suhara, Suzuki (1964), Alberts и др. (1965), Barlow (1967).
Как мы видели, спектр мощности белого шума постоянен. Таким образом, этот спектр можно использовать как неформальный критерий статистики белого шума [Granger, Morgenstern (1963), Press, Tukey (1956)]. Этот метод особенно эффективен в том случае, когда альтернативный процесс представляет собой некоторую другую форму стационарного процесса. Так, второй процесс может выражаться через первый в некоторой функциональной форме. После того как выбор функциональной зависимости уже сделан, его качество может быть проверено гладкостью спектра мощности остатков [Macdonald N. J., Word (1963)]. Величина спектра мощности остатков может быть использована в качестве критерия согласия. Частотные границы плохого согласия также могут быть получены из непосредственного рассмотрения спектров.
Изучению экономических рядов через спектральный анализ посвящены многочисленные статьи, см., например, Grander, Elliot (1968), Howrey (1968), Sargent (1968).
Оценки. Спектры мощности используются для оценок параметров. Внутренняя структура ряда иногда ведет к функциональной форме зависимости спектра от неизвестных параметров. В таком случае параметры могут быть оценены из экспериментального спектра; см. Whittle (1951, 1952а, 1961), Ибрагимов (1967). Линейные процессы являются моделями со многими неизвестными параметрами [Ricker (1940), Robinson (1967b)]. Для их исследования используются спектры. Сдвиг пика в наблюдаемом спектре с места его обычного расположения используется астрономами для определения направления движения астрономического тела; Bracewell (1965). Перемещение пика в спектрах наблюдений использовали Munk, Snodgrass для определения возможных штормов в Индийском океане.
Исследование скрытых периодичностей. Измерение частоты возможно периодического явления явилось первоначальной проблемой, приведшей к определению периодограммы второго порядка [Schuster (1898)]. Пики функции /? (к) сразу же попадают в поле зрения, а ширина их может служить мерой точности определения скрытых частот. Определение главной частоты биотоков мозга является важным шагом в исследовании пациента с возможными психическими отклонениями [Gibbs, Grass (1947)]. Bryson, Dutton(1961) исследовали периоды солнечной активности по кольцам на срезе дерева.
Сглаживание и прогнозы. Точное исследование спектра мощности является важным этапом при определении формулы Колмогорова и Винера; см. Колмогоров (1941а), Wiener (1949), Whittle (1963а). К этой же области относится проблема усиления сигналов и построения оптимальных передаточных устройств для сигналов гармонической природы (например, человеческой речи).
