Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Полезно сравнить это равенство с асимптотическим выражением (4.3.8). ' '
В действительности Cramer (1942) получил представление (4.6.13) при выполнении условий теоремы 2.5.2. В этом более
общем случае функция Zx(X) удовлетворяет соотношению
cov JdZx (X), dZx fa)} = T) (X-ii) dFxx (К) ф,, (4.6.46)
где F^x(X) обозначает г х r-матричную функцию, существование которой вытекает из теоремы 2.5.2. Но интегральное представление в этом случае справедливо, только если интеграл понимается в среднеквадратическом смысле; можно получить этот результат, модифицировав доказательство теоремы 3.9.1.
4.7. Анализ главных компонент и его связь с представлением Крамера
Пусть Y есть /-компонентная векторная случайная величина с ковариационной матрицей Еуу. Если компоненты вектора Y коррелированы и их число J больше двух или больше трех, то часто бывает трудно понять существенную статистическую природу Y. Рассмотрим поэтому задачу нахождения величины ? более простой, чем Y, но которая содержала бы почти всю статистическую информацию, заключенную в Y. Будем искать ? вида
S = AY,
(4.7.1)
где А—некоторая Kx /-матрица, такая, что К < J- Требование, чтобы величина ? содержала большую часть статистической информации, имеющейся в Y, формализуем следующим образом: ? должна минимизировать функцию
minE {(Y-b-CgHY-b-Cg)}, bjxi, cjxzc (4.7.2) в, с
Справедлива
Теорема 4.7.1. Пусть Y есть. J-компонентная величина с ковариационной матрицей 2ГГ. Матрица А размера Kx J, которая задает ? по формуле (4.7.1) и минимизирует функцию (4.7.2), имеет вид
Г U11
A^
L
J
где Uy есть /-й собственный вектор матрицы 2УУ, / = 1, При этом минимальное значение (4.7.2) равно
2 My ¦
і ж
(4.7.3)
где H7- есть І'е собственное значение 2ГГ. Экстремальными матрицами В, С будут
. C = а\
B = E(Y}—CAE{Y}.
(4.7.5)
Компоненты величины ? называются главными компонентами Y. Они имеют вид Ij= UJY, и для них
dc,*= і*,,
cov {?у, = О при /^й.
(4.7.6)
Величина ?, следовательно, проще устроена, чем Y.
Эта теорема приводит к рассмотрению аппроксимаций ,/-компонентной величины Y посредством выражения
8 + [U1...U^K
й ее j-й компоненты посредством выражения
яу + 21/уіЛ*.
(4.7.7) (4.7.8)
Ошибка при такой аппроксимации величины Y с помощью (4.7.7), как показывает (4.7.4), зависит от величины собственных значений с номерами />/С- Если K=Jy то ошибка равна О и выражение (4.7.8) дает представление Y через некоррелированные величины Су.
Мы подробно изучим свойства главных компонент в гл. 9. Главные компоненты были введены в работе Hotelling (1933). Теорема 4.7.1 восходит к Kramer Н. P., Mathews (1956), а также Rao (1964, 1965).
Теперь перейдем к случаю, когда величина Y представляет собой отрезок наблюдений некоторого действительного стационарного временного ряда X(t), t =— 7\ Т. В этом случае
ГХ(— Г)~1
X(O)
L
X(T)
j
(4.7.9)
Предположим, что схх(и)у и = 0у ±1,
¦ автоковариационная
функция ряда X(t), / = 0, ±1, .... Тогда t %
г•CXt(O) схх(\) ... схх(2Т)~\ х схх (—1)
2^ =
(4.7.10)
_схх(-2Т) . ... схх(0)
Согласно изложенному выше, главные компоненты вектора (4.7.9) будут выражаться через собственные векторы матрицы (4.7.10). Эта матрица представляет собой конечную теп лицеву матрицу, поэтому, как следует из § 3.7, ее собственные значения и собственные векторы будут приблизительно равны соответственно
2Т
2 cxx(t)expU2nst\/(2T + l) (4.7.11)
t--2T
и
(2T+l)~^[exp{—i2nst/(2T+l)}, / = -71, T]; (4.7.12)
здесь S = — 7, ..., Т. Главные компоненты вектора (4.7.9) будут, следовательно, примерно равны т
(2Г+1)"1/2 2 ехр{— i2nst/(2T+l)}X(t), S = —7, ...,Г.
t = -Т
(4.7.13)
Если мы вернемся к выражению (4.6.2), то увидим, что выражение (4.7.13) равняется d{p (2ns/(2T+ I)), т. е. конечному преобразованию Фурье, на котором было основано преобразование Крамера и которое, как мы уже отмечали, было взято в качестве основной статистики при исследовании отрезков наблюдений временных рядов. " .. ,
Следуя теореме 4.7.1, приходим к такой аппроксимации для X(t):
(2Т+ I)"1 %dxT) (2ns/(2T + I))ехр {i2nst/(2T + 1)},
S
t = -T, Г; (4.7.14)
суммирование в выражении (4.7.14) ведется по s, соответствующим К наибольшим значениям величин (4.7.11). Если взять К = = 2Г+1 и устремить T к бесконечности, то следовало бы ожидать, что значения (4.7.14) будут очень близки к X (t). Действительно, (4.7.14) стремится при Г~>оо к
2л
j exp{ikt}dZx(k), о
если в каком-то смысле
^2Jt)-1 J d{P (a) da -+Zx (к). (4.7.16)
о
Выражение (4.7.15) является преобразованием Крамера ряда X(t). Представление Крамера получается, таким образом, как предельный результат при анализе главных компонент ряда X(t), t = 09 ±1, ....
Craddock (1965) провел эмпирический анализ главных компонент для ковариационной матрицы, построенной на основе отрезка наблюдений временного ряда. Полученные им главные компоненты выглядели как сумма гармонических колебаний в (4.7.13).
