Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
sup\dp (I)-A(I) dp (k)\/(\ogTy/* <L. (4.5.12)
T —> GO %
Выражение (4.5.12) показывает, что порядок возможной скорости роста для
sup |d^(X)—a(X) dp (X) |
не превосходит (logГ)1/2. В теореме 4.5.3 продемонстрировано, что эта оценка скорости сходимости может быть доведена до порядка 71-(log Г)1/2, если в преобразование Фурье предварительно ввести множитель сходимости.
Теорема 4.5.3. Пусть г-компонентный векторный ряд X(t), J = 0, ±1, имеющий нулевое среднее, удовлетворяет условию
2.6.3, и пусть Y(o задается формулой (4.5.7), где {а{и)\ удов-летворяет условию (4.5.8). Пусть также
КЬ?Л (т) PS] «р {-*«}. (4-5-із)
где Л (н) имеет равномерно ограниченную производную и h(u) = 0 при \и\^1. Тогда существует постоянная L<oo, такая, что с вероятностью 1 ч
TSTsup I d(yr> (X) - A (X) d(xr> (X) I T^V(IOg T)i/» < L. (4.5.14)
7 -> со я,
В случае когда X(o» * = 0, ±1, ...,— ряд, состоящий из независимых величин, ряд Y(o» определяемый формулой (4.5.7), представляет собой линейный процесс. Выражения (4.5.12) и (4.5.14) показывают, как можно изучать выборочные свойства преобразования Фурье линейного процесса с помощью выборочных свойств преобразования Фурье ряда из независимых величин. Такой подход применялся Бартлетом (1966, § 9.2).
В ряде случаев представляют интерес грубые оценки роста sup I dx} (X) |, когда ряд X (/), t = 0, ± 1, ..., удовлетворяет более слабому условию 2.6.1.
Теорема 4.5.4. Пусть ряд Х(0, t = 0, ±1, принимающий действительные значения, имеет нулевое среднее и удовлетворяет условию 2.6.1. Пусть функция h(t) удовлетворяет условию 4.3.1 и d(P (К) задается формулой (4.5.1). Тогда для любого е>0
T-^-8sup I d{P JX) [-и. 0 (4.5.15)
с вероятностью '1 при T—> oo.
4.6. Представление Крамера
В § 3.9 были получены два спектральных представления для временных рядов, рассматривавшихся в рамках функционального подхода, а в этом параграфе мы получим спектральное представление при стохастическом подходе к анализу временных рядов. Это представление было введено Крамером [Cramer (1942)].
Пусть X(o» t = 0, ±1, есть г-компонентный ряд. Рассмотрим множитель сходимости
f 1 при I и I ^ 1, A(H)=J 1 (4.6.1)
w (0 при остальных и v '
и соответствующее конечное преобразование Фурье
T
<&Г)(Х)= 2 X(oехр{—Mf. (4.6.2)
Это преобразование будет играть основную роль при выводе нужного нам представления. Положим
я
їпІЇР (X) = J йТ (a) da. (4.6.3)
о
Тогда
T
2nZp(%) = 2 X(o[I-ехр{-Ш}]/(—U)9 (4.6.4)
t=- T
если считать, что
Пусть
[1— ехр{-Ш}]/(—*0 = Х при *=0. 1 (4.6.5)
п(Я)= 2 6 (X+ 2я/) (4.6.6)
/=-00
будет 2я-периодическим расширением дельта-функции Дирака. После введения этих обозначений мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 4.6.1. Пусть ряд X(o, f==0, ±1, удовлетворяет условию 2.6.1, и пусть Zp(X)9 —оо<Х<оо, задается формулой (4.6.4). Тогда существует Zx(X), —оо<Х<оо, такая что Zp (X) сходится к Zx (X) е. среднем порядка v для любого положительного v. Кроме того9 Zx (X+2tt)=Zx (X), Zx (X)=Zx (—X) и
CUHl(Za1(X1), ...,Zah(h)) =
Ъ \k { k \ = У* 'J 1H Vа*' аі-і)^-..*»* (4.6.7)
о о \ 1 /
для ai9 ..., ak=l9 ..., г; k = 2, 3, ... .
Соотношение (4.6.7) можно переписать в дифференциальной форме:
cum {dZax (X1), ..., dZak (K)} =
-=^,(2^)/^..^,(^, X^dX1 ... dX*. (4.6.8)
Выражение (4.6.8) показывает, что
cov JdZx (X), dZx Oi)} = T1 (X-[X) fxx (X) dld\i9. (4.6.9)
где fxx (Ц обозначает матрицу спектральной плотности ряда X(o- Приращения Zx(X) ортогональны, кроме тех случаев, когда Х==р, (mod 2я). Далее, совместные кумулянты приращений будут
к
очень малы, кроме случаев 2 К^ 0 (mod 2п). Приращения Zx(X)
і
ведут себя примерно так же, как величина dx) (X)9 рассмотренная в § 4.3.,
В теореме 4.6.2 нам встретится стохастический интеграл вида
2л
j Ф (X)(Ilx (X). (4.6.10)
о
Если
2я
S Ф(Х)ЛХХ (X)T(WdX<oo9 (4.6.11)
то этот интеграл определяется как предел в среднеквадрати-ческом:
N-I
(?) [Z, (^) -? (?!)] ; (4.6.,2)
Cramer, Leadbetter (1967, § 5.3). Теперь мы можем ввести представление Крамера ряда X(o, t = 09 ±1, ... .
Теорема 4.6.2. При выполнении условий теоремы 4.6.1 с вероятностью 1
X(o-j ехр{Ш}Лгх(Х), * = 0, ±1, (4.6.13)
о
при этом Zx (X) удовлетворяет условиям и обладает свойствами, указанными в теореме 4.6.1.
Иногда бывает удобнее переписать (4.6.13) в виде, использующем переменные с действительными компонентами. Положим
Vx{X) = -lmZx(X). V-b'l*>
U^(X + 2n) = Ux(l),
Xx(X +2n) = Wx(X) <4-ЬЛ5>
Для этих функций
Vx (-X) = Iix (X), \х (-X) = -Wx(X).
Если воспользоваться равенствами
vx(X) = [zx(X)+zx(-X)]/2,
V* (и)--[Zx (I*) —Zx (—|*)]/(2f), ( • • ;
то из формулы (4.6.8) получим
cum \dUa, (X1).....dUak (Я»), dVbl Ы. • • •. dVb, (|*,)}
Yif4. їг-Л-і)^! ... dV^i ••• Ф*> (4.6.18)
где суммирование ведется по всем е, у = ±1. В случае k + y = 2 из этих соотношений вытекает
