Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
4.4. Лсимптическое распределение конечного преобразования Фурье 107
.400г
.256—
.112 -
I
1 -.032 Ь
t
§ -.176
-.320
-3.50
1.50
2.50
3.50
-2.50 -1.50 . -.50 .50
КВанти/іи
Рис. 4.4.1. График действительной части дискретного преобразования Фурье ряда среднемесячных (без сезонной составляющей) температур в Вене с 1780 по 1950 г., построенный на нормальной вероятностной бумаге.
ное распределение, то их значения на плоскости будут лежать вблизи прямой. Полученные нами графики отличаются от прямых, по сути дела, лишь на концах. Это подтверждает заключение теоремы 4.4.1 по крайней мере для таких рядов.
Теоремы, приведенные в этом параграфе, оправдывают замечание, которое часто встречается в литературе по теории связи: ряд, получающийся на выходе фильтра с узкой полосой пропускания, является приблизительно гауссовским; см. Rosenblatt (1961). Рассмотрим передаточную функцию фильтра с узкой полосой пропускания, центрированной на частоте V-
A(K)-
1 при \К± А,0| < Т , — я < К < л,
T «^"^«» (4 4 7)
0 в противном случае.
Если на вход этого фильтра подается ряд X(t), t = 0, ± 1, то выражение (3.6.8) предыдущей главы показывает, что на выходе получится ряд, который аппроксимируется следующим образом:
Т-Ч$> (Щ ехр {іЩ + Т-ЧТ (~f-S) ехр {-іЩ,
t = 0, ±1...... (4.4.8)
40Or-
.256
j
^ .112
Ї
-.032
I
-.176
-.320
-3.50
-2.5.0
-1.50
-.50
.50
Кданти/м
1.50
2.50
3.50
Рис. 4.4.2. График мнимой части дискретного преобразования Фурье ряда среднемесячных (без сезонной составляющей) температур в Вене с 1780 по 1950 г., построенный, на нормальной вероятностной бумаге.
Здесь s—целая часть от ТЯ0/(2я), поэтому 2ns/Т = V В случае когда 1K0 ф 0(mod я), согласно теореме 4.4.1, величина (4.4.8) будет иметь асимптотически распределение N (0AnT-1J Хх (^0))-По этому поводу см. также Леонов и Ширяев (1960), Picinbono (1959), Rosenblatt (1956с). Полезный результат содержится в упр. 4.8.23, которое показывает, что конечные преобразования Фурьё, построенные по последовательным отрезкам данных, будут при некоторых условиях асимптотически независимы и одинаково распределены. '
4.5. Оценки, имеющие место с вероятностью 1
Иногда бывает полезно иметь оценки конечного преобразования Фурье
#} = (f )*(0ехр{-Ш| (4.5.1)
как функции X и объема выборки Г. Отметим следующий результат. '
Теорема 4.5.1. Пусть ряд X(t), t = 0, ±1, с нулевым средним, принимающий действительные значения, удовлетворяет условию 2.6.3. Пусть также h(t) удовлетворяет условию 4.3.1 и dp (к) задается формулой (4.5.1). Тогда с вероятностью единица
lETsup \dp (Х)|/(Т log Г)1/2 <2 І2п \te(t)dt sup fxxW) ^ .
(4.5.2)
Это означает, что с вероятностью 1 для любого /С>1 произойдет лишь конечное число событий
sup I dT (X) I > К (T log T)V* 2 {2я S h? (t) dt sup fxx (X)}1/2
7=1, 2, ... . (4.5.3)
Из выражения (4.5.2) видно, что при "указанных условиях преобразование Фурье имеет порядок роста не более (T log T)1/2. Если значения X(t) ограничены постоянной, скажем М, то элементарное неравенство
sup \ dp (X) К MT (4.5.4)
к
дает порядок роста не выше чем Т. С другой стороны, если рассматривать \dpCk)\ для фиксированной частоты, то можно применить закон повторного логарифма; Maruyama (1949), Part-hasarathy (1960), Philipp (1967), Iosifescu (1968), Iosifescu, Theo-dorescu (1969). Закон повторного логарифма приводит к заключению о скорости роста порядка (T log log T)1/2; другие результаты типа (4.5.2) можно найти в работах: Salem, Zygmund (1956), Whittle (1959), Kahane (1968).
Из теоремы 4.5.1 немедленно вытекает, что при сформулированных условиях регулярности
sup Idp(X)\/T-+ 0 (4.5.5)
с вероятностью 1 при T—>oo. В частности, полагая X = O, полу* чаем, что с вероятностью 1 при Т —*оо ч т-1
2 X(t)/T-^0, * (4.5.6)
t = о
т. е. справедлив усиленный закон больших чисел. Подобные результаты содержатся в работе Wiener, Wintner (1941).
Продолжая рассмотрение различных асимптотических результатов, предположим, что s-компонентный векторный ряд Y(Z), t=*09 ± 1, представляет собой профильтрованный ряд
X(O, т. е.
со
y(O= 2 а (* —и)Х(и) (4.5.7)
U= - QO
для некоторого sxr-матричного фильтра {а (и)}. , В некоторых случаях будет представлять интерес связь конечного преобразования Фурье ряда y (t) с конечным преобразованием Фурье для ряда X(O- Согласно лемме 3.4.1, если ряд Х(/), ^ = О, ±1, ограничен и
S (1+М)|аМ|< оо, (4.5.8)
M= - СО
то существует постоянная /С<оо, такая, что
sup I dp (X)-A (Я) d</> (X) I < К, (4.5.9)
к
где
WMl 7^TX(Ol
U(x)J=д IyIoJ ехр{-ш} (4-5ло)
и
QO
A(K)= 2 а(и)ехр{—Ни}. (4.5.11)
M= - со
В случае когда X(t), ^ = 0, ±1, является г-компонентным стохастическим рядом, справедлива
Теорема 4.5.2. Пусть г-компонентный векторный ряд Х(/), ' = 0, ±1, удовлетворяет условию 2.6.3 и имеет нулевое среднее. Пусть y(t) задается формулой (4.5.7), где {а (и)} удовлетворяет условию (4.5.8). Тогда существует такая постоянная L, что с вероятностью 1
