Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 34

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 163 >> Следующая


4.4. Асимптотическое распределение конечного преобразования Фурье

В предыдущих параграфах были получены асимптотические выражения для совместных кумулянтов конечного. преобразования Фурье стационарных временных рядов. В настоящем параграфе мы используем найденные выражения при выводе предельного распределения этого преобразования. Введем обозначение Cy=EX(Z). Имеет место

Теорема 4.4.1. Пусть г-компонентный ряд X (/), t = 0, ± 1,...,

удовлетворяет условию 2.6.1. Пусть Sj(T) —такое целое число, что 1Kj (T) = 2ns, (T)IT —* Xj при T —> оо для / = 1.....JT. Предположим, что 2Xj(T), Я,(7) ±4(T)#0(mod 2я) для 1 Полагаем

7-1

d?> (X) = Д X (t) ехр {— iXt} для — оо < Х< оо. (4.4.1)

Тогда случайные величины d(/} (Xj(T)), у = 1, /, асимптотически независимы и соответственно имеют распределение

4.4. Асимптическое распределение конечного преобразования Фурье 105

Nf (0, 2nTixx (Kj)). Кроме того, если X = 0, ± 2я, ..., то d(P (X) является величиной, асимптотически распределенной как Nг (Тс>х> ^пТ\хх (X)) и не зависящей от предыдущих величин, если же Л = ± я, ±3я, ..., то d(p (X) является 'величиной, не зависящей от предыдущих величин, и распределенной как Nr (0, 2лТіхх (X)).

В случае X = 0 имеем

«IiT(O)=S1X(O (4.4.2)

t = О

и наша теорема представляет собой центральную предельную теорему для ряда X(t). Другие варианты центральной предельной теоремы для стационарных последовательностей -приводятся в работах: Rosenblatt (1956, 1961), Леонов и Ширяев (1960), Iosifescu, Theodorescu (1969, стр. 22), Philipp (1969). Условия асимптотической нормальности коэффициентов Фурье исследованы Kawata (1965, 1966).

Если выполнены условия теоремы И Xj = X, j = \, то

dx* (4 (T)), j = 1, ..., J, ведет себя примерно как выборка объема-J из распределения Nf(O, 2nTfxx(X)). Последнее замечание будет полезно позднее, когда появятся оценки fxx(X) и аппроксимации к интересующим нас статистикам.

Если при вычислении конечного преобразования Фурье ряда X (t), t = 0, ± 1, ... , применяются множители сходимости, то справедлив следующий альтернативный вариант центральной предельной теоремы.

Теорема 4.4.2. Пусть г-компонентный векторный ряд X(t), t = 0, ± 1, удовлетворяет условию 2.6.1. Предположим, что 2Xj, Xj ±.Хкф0 (mod 2я) для 1 < / < k < /. Пусть

г-ь

* 4r4b) = &«(f ехр {-Ш}, (4.4.3)

їде К (t) удовлетворяет условию 4.3.1, а = 1г. Тогда d(P (Xj), Xjф0(mod2я), / = 1, являются асимптотически незави-

симыми величинами с распределением Nf(O, 2пТ [HаЪ (0) fab (Xj)]), Если Х = 0, ± 2я, ..., mo d(p (X) имеют асимптотически распределение N г(Т[саНа(Щ, 2я7[HаЬ (0) fаЪ (X)] и независимы от предыдущих величин; если X = ± я, ± Зя, ..., то d(p (X) имеет асимптотически распределение Nr (0, 2яТ [HаЬ (0) fab (X)]) и не зависит от предыдущих величин.

Если сглаживание всех компонент X (t) производится с помощью одного и того же множителя h(t), то асимптотическая ковариационная матрица d(p (X) такова:

2яТ \h(tfdtixx(X) для — оо<Я<оо. (4.4.4)

Налагая дополнительные условия регулярности на ha(t)9 a = 1, ...,г, можно получить теорему, описывающую поведение (Vp(Xj(T)), когда последовательности частот X1 (T) стремятся к пределам kj9j=l, см. Brillinger (1970) и упр. 4.8.20.

Величины dp (Xj (T)) оказываются асимптотически независимыми, если только Xj(T)9 Хк(Т) не слишком близки друг другу по тос12я для l^.j<k^J. В упр. 4.8.23 определено асимптотическое поведение преобразований Фурье, построенных по непересекающимся отрезкам данных.

Предположим, что спектр мощности fxxity действительного стационарного ряда X (/), t = 0, ±1, ..., приблизительно равен постоянной, скажем, сР/(2п)9 — оо < X < оо. Согласно теореме 4.4.1, значения dp (2ns/T)9 s= I9 ...,(7-1)/2, являются приблизительно независимыми величинами с распределениями Nf(O9 7а2), и, следовательно, значения Re,d<f> (2ns/T)9 lmdp(2ns/T)9 s= 1, (7-1)/2, будут почти независимыми N1 (0, 7а2/2)-величинами. Займемся теперь частичной эмпирической проверкой этого заключения.

Рассмотрим ряд V(t)9 t = 09 1, средних месячных температур в Вене за период с 1780 по 1950 г. Этот ряд, отрезок которого изображен на рис. 1.1.1, обладает ярко выраженной годовой периодической компонентой. Для того чтобы получить ряд с почти постоянным спектром мощности, мы попытались убрать эту периодическую компоненту, вычитая из каждого значения месячной температуры среднюю температуру для данного месяца, вычисленную по всему отрезку данных. А именно,, был составлен ряд

X(i+\2k)=V(l+\2k)^V(i+\2k)\^\ (4.4.5)

для / = 0, ..., 11 и k = 09 1, ... . Затем мы вычислили преобразование Фурьер (2яя/7), s=l, ..., (7-1)/2, взяв 7=2048 = 211, так что можно было использовать алгоритм быстрого преобразования" Фурье.

На рис. 4.4.1 . и 4.4.2 представлены кривые вероятностных распределений соответственно для

Red(P (^) , s=l, 1000,

Imd</>(^s) , s=l,...., 1000.

Способ построения таких графиков изложен в работе Chernoff, Lieberman (1954). Оцениваемый спектр мощности этого ряда (явное выражение для спектра приведено в § 7.8) медленно меняется с ростом X и остается практически постоянным. Если кажда/ переменная имеет одно и то же маргинальное нормаль-
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed