Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
lim
7 -> со
(3.9.14)
Если X(t) также удовлетворяет (3.9.3) и Охх(Х) дается формулой (3.9.4), то
lim Те \[Zx(a + e)-Zx(a-e)j [Zx(a + B)-Zx(a-e)Yda=Gxx(X)
(3.9.15)
в точках непрерывности GXX(X), О^Я^я.
Теорема Винера [Wiener (1933, стр. 138)] позволяет показать, что соотношение (3.9.11) выполняется, если
T
lim sup (27+ I)-1 2 ||Х(/)||2<оо. (3.9.16)
3.10. Упражнения
93
Ясно, что выражение (3.9.12) может быть использовано для описания действия линейного фильтра на ряд X(O-
Другой способ получения спектрального представления детерминированного ряда Х(/), t = 0, ±1, ..., основан на применении теории распределений Шварца - [Schwartz (1957, 1959), Edwards (1967, гл. 12)]. В § 4.6 будет получено спектральное представление стохастического ряда. Bertrandias (1960, 1961), как и Henin-ger (1970), также рассматривал случай детерминированного ряда.
3.10. Упражнения
3.10.1. Предположим, что A(K) = I для | X ± со | < А при малом А и A (X) = O для остальных X из промежутка —я < X < я. Покажите, что
2А/л при и = 0,
2 cos ссш sin Аи/(пи) при и Ф 0.
3.10.2. Пусть A (X) — передаточная функция фильтра. Покажите; что фильтр оставляет инвариантными полиномы, степени k тогда и только тогда, когда Л (0)=1, A(/)(0) = 0, 1«^/<;& (здесь AW (X) обозначает /-to производную функции A (X)) [Schoenberg (1946), Brillinger (1965а)].
ЗЛО.З. Покажите, что если
і
H (а) = (2я)-х ^ h (х) ехр {— iax} dx -і
допускает оценку | H (а) | «^/C(I + 'а |)~2, то H^(X), фигурирующая в (3.3.6), задается формулой
oo
п 2 H (п[Х—2л/]), — оо < Я < оо. /=-»
3.10.4. Покажите, что если % обозначает матрицу, у которой на пересечении /-й строки и k-ro столбца, 1 <;/, k^Tt стоит элемент ехр {— i2n (j—I)X
x(k—\)/T}9 то Шх=ті и д4=гч.
3.10.5. Докажите, что если Dn (X) задается выражением (3.2.6), то (2п + I)^1Dn(X) стремится к ц{Х}/2л при п-^оо.
3.10.6. Докажите, что при п -> оо функция, определяемая формулой (3.4.14), стремится к 2я (— i)b d .
3.10.7. Пусть ср, ср обозначают соответственно средние значения X (t), Y(t), /==0, T — 1. Покажите, что
2 [X(t + u)-cp][Y(t)-cP]
0</, t + u< T-I
равняется
S-I
S-i ^dP (ZfJ & ехр {i2nsulS}
при U = O9 ±1, ± (5 + 7),
S=I
3.10.8. Пусть Xj(t)> t = 0, Г—1, обозначает Г-периодическое продолжение X/(t), t = 0, Т — 1, для J-X9 г. Получите формулу
T-I
2 Xiit + uJ.t.Xr-iit + Ur-.JXrV) *=0
S1=O sr_ j = 0
xdcr> [Si+... + sr-ilj ехр j . 2я [S1U1+...+ Sr-itir-d |
при M1, иг_і = 0, ±1, ... •
* 3.10.9. Пусть * *
7-і
Y (0= 2 а(t—u)X(u) для f = 0, ± 1, ... .
Покажите, что dy) (X) = A(X) dp (X), — оо < X < оо.
3.10.10. Пусть п<г>(%, wr.x) обозначает выражение (3.6.10). Покажите, что
7-1 T-I ГТ-Х i ГТ-1 1
2 ... 2 *(г)(«іЛ.., иг.!)= 2 *iW ••• LS х' w
T-X T-X
S1 = O Sr-1 = O
3.10.11. Покажите, что если W = Z"1, то
Re W = {Re Z + (Im Z) (Re Z) -1 (Im Z)} - *, Im W = — (Re W) (Im Z) (Re Z) -!.
3.10.12. Пусть g —та же матрица, что и в упр. 3.10.4. Покажите, что ее собственные значения равны Г1у/2, —iT1^2, —T1^2, іТ1^2 соответственно с кратностями [Г/4]+1, [(Г+ 1)/4], [(Г + 2)/4], [(Г +-3)/4]—1. (Здесь [N] обо-значает целую часть N.) См. Lewis (1939).
3.10.13. Докажите, что если эрмитова матрица Z имеет собственные значения \хг и соответствующие собственные векторы U1, Vn то
у матрицы Z—Ji1U1U1 собственными значениями будут 0, \i2> •••» Ит> а с°б* ственными векторами — U1, Ur. Покажите, как этот результат может быть использован для сокращения количества вычислений при определении собственных значений и собственных векторов матрицы Z по собственным значениям и собственным векторам матрицы Z^.
3.10.14. Используя неравенство (3.7.16), докажите следующую теорему. Пусть
СО
/W= 2 с (и) ехр {Ни},
U= - со
где — оо < X < оо и 21 и 11 с(и) I2 < °°- Пусть также С(Г> = [с(/—^)], /,
и
k—X, Т. Если F [•]—функция, производная которой равномерно ограни-
lim т о
чена на области значений f (X), —оо < X < оо, то
F [,и (ph)1+ .„ +F [mct))]^,! J f (/ (X)J ^
О
Теоремы такого типа имеются в книге Grenander, Szego (1958).
3.10.15. Матрица Z размера (Tr)X(Tr) называется блочно-периодической, если она составлена из гХг-матрицы Zjk = z(k—/), где z(-) — некоторая г Xr-матричная функция периода Т. Докажите, что собственные значения матрицы Z выражаются через собственные значения
7-і
2 Z(Z) ехр {-i2njk/T}> ? = 0, ...,Г — 1, (•)
/=о
и соответствующими собственными векторами окажутся
[ехр {- i2njk/T} ulk\ /=0, ..., Г—1],
где Uik—собственные векторы для (*) [Friedman (1961)]. Покажите, как этот результат можно использовать для нахождения матрицы, обратной к блочно-периодической.
ЗЛ0.16. Пусть Ух/-матрица Z эрмитова. Докажите, что
xTZx
JA/ (Z) =inf SUp —- ,
D Dx=O XX
где X—вектор с J компонентами, a D—матрица, имеющая / строк и ранг которой не превосходит /—1. Это утверждение, именуемое теоремой Куранта — Фишера, можно найти в работе Bellman (1960).
