Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 1.1.4. Объем экспорта Великобритании (стоимость в миллионах фунтов стерлингов) на различные рынки с 1958 по 1968 гг.
1760 1800 1850 1900 1950 1965
Год
Рис. 1.1.5. График солнечной активности (среднее годовое число солнечных пятен) за период 1760—1965 гг.
зумно отыскивать и включать в рассмотрение дополнительные ряды, связанные с каким-либо процессом, описываемым одно-компонентным рядом.
1.2. Основания для применения гармонического анализа
Главным методом, который будет использоваться при анализе временных рядов, является гармонический анализ. Объясняется это тем, что в дальнейшем мы будем рассматривать только ряды, описывающие результаты экспериментов, не привязанных к конкретному началу отсчета времени. Другими словами, мы намерены ограничиться экспериментами, инвариантными по отношению к временным сдвигам. Отсюда следует, например, что доля значений X (/), / > и, попавших в некоторый интервал /, должна быть примерно такой же, как доля значений X(t), t^u + v, попавших в интервал / для всех v.
Можно считать, что типичные физические эксперименты обладают свойством временной инвариантности. Так, для многих практических целей неважно, в какой именно день начата серия измерений силы тяжести. Беглый анализ рядов, упоминавшихся в предыдущем параграфе, показывает: температурный ряд на рис. 1.1.1 вполне приемлемо считать обладающим таким свойством инвариантности во времени; отрезки сейсмических наблюдений тоже кажутся на первый взгляд стационарными; ряды, описывающие объем экспорта, заведомо не похожи на стационарные, и с меньшей уверенностью это можно сказать про ряд, изображающий число солнечных пятен. Поведение рядов, описывающих объем экспорта, является типичным для большинства рядов, связанных с социально-экономическими процессами. Поскольку люди извлекают уроки из прошлого и соответственно изменяют свое поведение, ряды, относящиеся к человеческой деятельности, вообще говоря, не являются инвариантными во времени. Позднее мы обсудим методы, позволяющие выделить стационарную компоненту из нестационарных рядов, однако тех-
ника этой книги главным образом нацелена на анализ стационарных процессов.
Потребовав, чтобы при сдвигах аргумента поведение интересующих нас функций было в некотором смысле элементарным, можно получить определенные аналитические следствия. Пусть f(t)—действительная или комплексная функция, определенная при ^ = О, ±1, ... . Если потребовать, чтобы
f(t + u) = f(t) для tt и = 0, ±1,... , (1.2.1)
то, очевидно, f(t) будет постоянной величиной. Поэтому для отбора функций, имеющих простое поведение при временных сдвигах, придется накладывать менее жесткие ограничения. Потребуем вместо (1.2.1) выполнения условия
f(t + u) = CJ(t) для t, и = 0, ±1, ... , где C1^=O. (1.2.2)
Подставив U=I9 получаем после нескольких шагов при t^O
f(t+I)=CJ (t) = C\f(t-\)=...= Ci+1f (0), (1.2.3) или в случае t^O
f (/) = Cr1/ (* + 1) = C1-2/ (/ + 2) = ... = CIf (0). (1.2.4)
В обоих случаях, положив C1=^eXpJa}, где a — действительное или комплексное число, мы видим, что общее решение уравнения (1.2.2) можно записать в виде
f(t) = f(0)exp{at\ (1.2.5)
и что Си = ехр {аи\. Ограниченные решения уравнения (1.2.2), как видно, получаются при a=iX, где X действительно, і = = Y — 1. Таким образом, поиски функций, просто изменяющихся при сдвигах аргумента, приводят нас к гармоникам ехр {Ш\ с действительным параметром X. Этот параметр X называется частотой гармоники. Если же оказывается, что
f It) = Zc; ехр (1.2.6)*
/
ТО
f(t + u) = 2 О' ехР {*V4 ехР {'V} =2 Cy ехр {iKjt}9 (12 7)
где Cj = Cj ехр \iXju}. Другими словами, если интересующая нас функция является суммой гармоник, то ее поведение при сдвигах аргумента также легко описывается. Поэтому если в результате инвариантного во времени эксперимента получаются детерминированные функции времени, то естественно рассматривать функции, представимые в виде (1.2.6). Изучение таких функций является предметом гармонического анализа или фурье-анализа [Bochner (1959), Zygmund (1959), Hewitt, Ross (1963), Wiener (1933), Edwards (1967)].
В § 2.7 мы увидим, что фильтры —важный класс операций над временными рядами —также проще всего описываются и исследуются средствами гармонического анализа.
Требование временной инвариантности применительно к экспериментам, результаты которых описываются случайными (стохастическими) функциями X(t)y приводит к рассмотрению специального класса экспериментов. Для них семейства случайных величин {X(t1 + u)y X(tk + u)} и {X(Z1), X(tk)\ имеют одинаковые распределения при всех и и Z1, tk. Результаты таких экспериментов называются стационарными стохастическими процессами [Doob (1953), WoId (1938), Хинчин (1934)].
1.3. Перемешивание
Второе важное требование к временным рядам состоит в том, что они должны иметь короткий промежуток времени зависимости. Иначе говоря, измерения X (t) и X (s) становятся несвязанными или взаимно статистически независимыми при t — s—> oo.
Это требование получит далее формальное выражение в виде условий 2.6.1 и 2.6.2 (/); оно позволит определить существенные цараметры генеральной совокупности и заключить, что различные полезные оценки являются асимптотически гауссовскими в смысле центральной предельной теоремы.
