Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 3.8.4. Пусть X(t), t = 0, ±1, ..., — ряд, принимающий действительные значения, имеющий среднее нуль и ковариационную функцию cov {X (t + u), X(t)} = cKX(и), t, и = 0,±\, ... .
Предположим, что
oo
2 [1 + \и\1]\схх(и)\<°° для некоторого 1^0 (3.8.17) и fxx(X)^0, — оо < Х< оо. Тогда
оо
X(t)= 2 b(u)z(t — и) для t = 0, ±1, (3.8.18)
«=о
аде ряд
oo
в(O = 2 a(u)X(t — u) (3.8.19)
имеет нулевое среднее и автоковариационную функцию сее(и) = = 6 {и}. При этом коэффициенты удовлетворяют условию
2[1 + IwI1IIaWI. Sn+ M1]I(З.в.20)
Коэффициенты {а (и)}, {Ь(и)\ определяются здесь неявным образом. Если рассмотреть функции
A (X) = 2 а (и) ехр {— iXu},
и = 0
(3.8.21)
В (к) = 2 Ь (и) ехр {— Ш*},
м = 0
то для них справедливы соотношения
B(X) = A (X)-1, (3.8.22)
• fxx(*)~\B№=*\A(K)\-\ (3.8.23)
log /„ (Ь) = log В (Я) + log В (X). (3.8.24)
Если выполняется условие (3.8.17) и fXx(ty не обращается в нуль, то можно записать
log/**2 *(и)ехр{-Ш*}. (3.8.25)
U= - oo
где
g (а) = (2л)-1 J ехр {iXu} log fxx (X) dX (3.8.26)
2 [1+M']I*(«)!<«> (3.8.27)
согласно теореме 3.8.3. Опираясь на выражение (3.8.24), определим
B(X) = ехр j у g(0) + ? g(u) ехр {- iXu}) . (3.8.28)
Соответствующие последовательности {а (и)}, {Ь(и)\ удовлетворяют условию (3.8.20) в силу теоремы 3.8.2.
Теоремы 3.8.2 и 3.8.3 впервые были использованы при анализе временных рядов в работе НаппаП (1963). Библиография к этим теоремам—книги Arens, Calderon (1955) и Гельфанд и др. (1960). Baxter (1963), используя эти процедуры,' получил неравенство, которое может быть полезно при оценке ошибки конечных аппроксимаций некоторых преобразований Фурье.
3.9. Спектральные представления при функциональном подходе к анализу временных рядов
Как мы уже видели в § 2.7, эффект воздействия линейных инвариантных во времени операций на временные ряды Х(/), J = 0, ±1, легко описывается, если ряд является суммой
гармонических колебаний, например,
Х(0 = 2ехр{ЭД2(/), (3.9.1)
где z (j) суть r-компонентные векторы. В этом параграфе мы рассмотрим представления ряда X(t), близкие по своей природе к (3.9.1), но применимые к более широкому классу рядов. Такие представления будем называть спектральными', они имеют вид
я
Х(0~ S е;р{Ш}dZx(k), t=0, ±1...... (3.9.2)
-Я
Здесь Zx(X)—некоторый r-компонентный ряд. Начнем с рассмотрения следующей теоремы.
Теорема 3.9.1. Пусть г-компонентная векторная функция X (t), t = 0, ± 1, ..., такова, что для t, и = 0, ± 1, ... существует
s
Hm (25+I)-1S ^(t + u + s)\(t + sy^mxx(u). (3.9.3)
5-> со s=-S
Тогда существует предел
и
oh(M= lim (2Я)-1 S tnxx(u)[exp{—iuX\— l]/(—iu)9
— я<А,<я. (3.9.4)
Существует также г-компонентная векторная функция Zx (k; s), — я<Я<я, s = 0, ±1, такая, что
я
X(* + s)~ S exp{M}dZ*(V, s), s, * = 0, ±1, (3.9.5)
-я
б толе смысле, что
§ Jt 2
lim (2S+1)-* S \\X(t + s)-[exp{i%t}dZx(k; s)\\ =0,
S-* со S= -S _ д
* = 0, ±1, .... (3.9.6) Функция Zx(X; s) удовлетворяет также соотношениям Hm Hm (2S+ I)-*
7-> оо S -> со
S Г
X 2 1 Zx (Я; s) -(2я)г* S X(^ + s)[exp{-t7M-l]/(-^)ll3 = 0.
S=-S t=-T
— я<Х<я, (3.9.7)
и
s _
lim (2S+1)~* S Zx(V, s)Zx((г, sr = G^(min{?L, ^}),
S -> со S= -5
0<Х, [х < я. • (3.9.8)
Матрица Gxx (X), фигурирующая в (3.9.4), является ограниченной неотрицательно определенной неубывающей функцией от X, О ^ X <; я, и такой, что Gxx (—h) = Gxx(X)x. Можно сравнить ее с матрицей, определенной в упр. 2.13.31.
Выражение (3.9.5) представляет X(? + s) в виде суммы гармоник с различными фазами и амплитудами. Предположим, что {ъ(и)\, и = 0, ±1, —фильтр, коэффициенты которого обращаются в нуль при достаточно больших значениях \и\, и пусть A(X)—передаточная функция этого фильтра. Тогда если ввести
Y W = 2a(*-«)X(u), t = 0, ±1, (3.9.9)
и
то профильтрованный ряд будет иметь представление
я
Y(* + s)~ J ехр {Ш} A (X)dZx (X, s), s, / = 0, ±1, ... . (3.9.10)
Гармонические колебания, составляющие X(t + s), теперь домно-жаются на передаточную функцию фильтра.
-Вариант теоремы 3.9.1 приведен в работах Bass (1962 а, Ь), однако сама теорема вытекает из теоремы о представлении, предложенном в работе WoId (1948).
Другую форму спектрального представления получил Wiener (1930). Справедлив следующий вариант этой теоремы для* векторных рядов с дискретным параметром. *
Теорема 3.9.2. Пусть X(t), t = 0, ±1, ...,—такая г-компонентная функция, что 7
S (1+P)-1BX(OII^qO. (3.9.11)
t= - 00
Тогда существует г-компонентная функция Zx(K), —я<Я^Гя, такая, что Zx(я)—Zx(—я) = X(O) и
Л
Х(0~ S exp{ilt}dZx{X), * = 0, ±1..... (3.9.12)
-Л
Выражение (3.9.12) справедливо в смысле формального интегрирования по частям:
л
X(t) = ein'Zx(n)-e-intZx(—n) + it J ехр {Ht]Zx (К) dX. (3.9.13)
— Jt
Функция Zx (X) удовлетворяет соотношению
л
lZ*W-4x(0)--^ X Х(0ехр{Ш}/(-«)'л = 0.
\<\t\<T
