Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что для каждой матрицы Z матрицы ZZT, ZTZ всегда будут эрмитовыми и неотрицательно определенными. Согласно теореме 2.5.1, если Х(*), * = 0, ± 1, ...,—векторный стационарный ряд с г компонентами, имеющий абсолютно суммируемую ковариационную функцию, то матрица его спектральной плотности fxxft) является эрмитовой и неотрицательно определенной. Отметим, что если
— матрица дискретного преобразования Фурье, рассмотренного в § 3.4, то матрица 71-1/2? будет унитарной. Ее собственные значения приведены в упр. 3.10.12.
В ряде случаев оказывается полезным сводить вычисления, связанные с комплексными матрицами, к вычислениям, вовлекающим только действительные матрицы. Приводимая ниже лемма 3.7.1 устанавливает важный изоморфизм между комплексными и действительными матрицами. Предварительно для матрицы Z = [ZyJ с элементами Zjk = ReZjk + ilmZjk введем следующие обозначения:
Za = [Xa.
(3.7.3)
$ = [ехр \-*i2njk/T}]
(3.7.4)
ReZ = [ReZyJ, ImZ = [ImZyJ.
(3.7.5)
Лемма 3.7.1. Каждой комплексной JхК-матрице !соответствует действительная (2J)x(2K)-Mampuuia ZR, такая, что
(і) если Z = X + Y, то ZR = XR + \R; (и) если Z = XY, то ZR = XRYR;
(iii) если Y = Z-1, то Y* = (Z*)"1;
(iv) Det Z* = j Det ZI2;
(v) если Z эрмитова, то ZR симметрична;
(vi) если Z унитарна, то ZR ортогональна]
(vii) если собственными значениями и собственными векторами матрицы Z будут соответственно [iy, а;-, /=1, , /, то для матрицы ZR собственными значениями и векторами будут соответственно
Rea,1 Г— Imа, 1 . r /Q „ сч
т ; Mv n 7Lz = I,...,/. (3.7.6)
Подразумевается, что все складываемые и перемножаемые матрицы имеют подходящие размеры.
Действительно, соответствие между матрицами, о котором идет речь, может быть задано следующим образом:
ReZ ImZ ImZ ReZ
(3.7.7)
Оно рассматривалось в работах: Wedderburn (1934), Lanczos (1956), Bellman (1960), Brenner (1961), Good (1963), Goodman (1963). Это-соответствие чрезвычайно полезно при вычислениях с комплексными матрицами. Однако Ehrlich (1970) указывает, что в некоторых случаях удобнее иметь дело непосредственно с комплексными матрицами.
Собственные векторы и собственные значения играют важную роль, когда мы представляем матрицы с помощью более элементарных матриц. Для эрмитовых матриц верна
Теорема 3.7.1. Если H является эрмитовой J х J-матрицей, то
j
H= 2 M7UyU/, (3.7.8)
/ = і
где (Xy- это j-e собственное значение H и Uy—соответствующий собственный вектор.
Следствие 3.7.1. Эрмитова Jx /-матрица H может быть записана в виде UMU\ где M = diag{|iy; /= 1, ..., J)1), а матрица
г) Так обозначена матрица М, ненулевые элементы которой стоят на главной диагонали и М^- = [і^.—Пріім. перев.
U = [U1, ..., U7] унитарна. Если к тому же H—неотрицательно определенная матрица, то |лу^0, /=1, J.
Приведенная теорема иногда называется спектральной теоремой. Для матриц произвольных размеров справедлива
Теорема 3.7.2. Для JxK-матрицы Z имеет место представление
Z= 2 JV U7V/, (3.7.9)
l<J.К
где (Xy есть j-e собственное значение матрицы ZZT (или матрицы ZTZ), Uy есть \-й собственный вектор матрицы ZZT и Vy есть 1-й собственный вектор матрицы ZTZ; при этом \i;^0.
Следствие 3/7.2. Каждая JxK-матрица Z может быть записана в виде UMVT, где JхК-матрица M = diag\\ij\ /= 1, ..., J} диагональна, JxJ-мащрица U = [U1, Uj]. унитарна и KxK-матрица V=[V1, VK] также унитарна.
Эту теорему установил Autonne (1915). Структурные теоремы для матриц обсуждаются в книгах: Wedderburn (1934) и Ниа (1963), см. также Schwerdtfeger (1960). Представление Z=UMUT* называется разложением Z по сингулярным значениям. Программа вычисления такого представления на ЭВМ приведена в работе Businger, Golub (1969).
С точки зрения анализа временных рядов важный класс матриц представляют конечные теплицевы матрицы. Говорят, что C = [CyJ является конечной теплицевой матрицей, если ее элементы Cjk зависят только от / — k, т. е. Cjk = c(j—k) для некоторой функции с(-). Эти матрицы рассмотрены в работе Widom (1965), где можно найти дальнейшие ссылки. При изучении временных рядов конечные теплицевы матрицы важны по следующей причине. Если X(t), t = 0, ±1, ...,—действительный стационарный ряд с автоковариационной функцией схх (и), и = 0, ± 1, ..., то ковариационная матрица отрезка этого ряда X(t), ? = 0, ... ..., T — 1, является конечной теплицевой матрицей с элементами cxx(j—k), стоящими на пересечении /-й строки и k-vo столбца.
Иногда нас будут интересовать собственные значения и собственные векторы ковариационной матрицы для X(t), t = 0, ...
T — 1, где X(t) — стационарный ряд. Имеются различные результаты об аппроксимации этих величин при больших Т. Перед тем как привести некоторые из них введем важный подкласс конечных теплицевых матриц. Квадратная теплицева матрица Z = [ZyJ называется циклической порядка T9 если Zjk = z(k—/) для неко-
торой периодической функции г(-) с периодом 7, т. е.
Z =
г2(0) 2(1) г (T-I) г(0) г (T-2) 2(7-1)
