Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
(T-\и I)-1 2 X1V+ и) X2{t), (3.6.6)
имеющей вид (3.6.1). Из упр. 3.10.7 видно, как можно изменить результат леммы 3.6.1, чтобы построить оценку для C12(^) = = cov{X1(^+ и), X2(t)\.
Результат леммы 3.6.1 оказывается также полезным при вычислений значений профильтрованного ряда
7-1
Y(t) = 2 *{t — и)Х(и) для < = 0, ± 1, (3.6.7)
где величины X (t), t = 0, Т—1, известны. Пусть А (к) —
передаточная функция фильтра {а(и)}. Тогда леммы 3.4.1 и 3.6.1 подсказывают, что стоит вычислить
S-1SV (х)^(^)ехр{'?} для '=-0' ±1- '
(3.6.8)
Эти значения должны быть близки к значениям профильтрованных величин. Непосредственная подстановка показывает, что (3.6.8) принимает вид
7-1
2
2 a(t — u + lS)
X (и), (3.6.9)
и поэтому, если коэффициенты а (и) быстро убывают при | и | —> оо и O^ t^.T—1, выражение (3.6.8) будет близко к выражению (3.6.7). В случае когда 5 разлагается на большое число множителей, вычисления по формуле (3.6.8) могут быть сокращены при помощи алгоритма быстрого преобразования Фурье. Можно было бы, кроме того, ввести в рассмотрение и множители сходимости.
Заметим, что лемма 3.6.1 допускает следующее обобщение.
Лемма 3.6.2. Для данных Xj (t), t = Q, ...,Г—1,/ = 1, ...,г
и целого S > T выражение
2 Xv(t +U1)... X^1V+ и, J1)X^t) (3-6.10)
0 < /, t + uf < T - 1
равняется
•.•S ^'(іг) ... 4ГЛ(^)
Si=O sr-.1=0
xdcD (2я 1*1+ ^ЕП) ехр {і 2Я [Sl^+ ' - + gr-i«r-i1| , (3в6Л1) Uj = O9 ±1, ±(S —Г), /==1, г-1.
В заключение этого параграфа укажем некоторые применения конечного преобразования Фурье. Допустим, что
2пХ (t) = R cos ((і)і + Ф)9 — я<о)<я, (3.6.12) тогда, согласно примеру 2 из § 3.4,
п
? X(t)ехр {^- M} =4Re^D11 (Ь -о) + у Re->D„(^+(o).(3.6.13)
Проверка показывает, что амплитуда функции, задаваемой формулой (3.6.13), велика лишь для Л, близких к ± со (—я<Я,<я). Следовательно, конечное преобразование Фурье (3.6.13) должно быть полезно при практическом определении заранее неизвестной частоты гармонического колебания. Об этом см. Stokes (1879). Заметим, что если X (t) содержит две неизвестные частоты, т.е.
2яХ (t) = R1 cos (G)1* + Фі) + #2 cos (G)2* + Ф2)> (3.6.14)
то близкие частоты G)1 и G)2 трудно разрешить (т. е. различить), так как
п
? X(0ехр {- Ш} = ехр {ІФ,} Dn(K-(O1)
t= -п
+ уЯ2ехр{іф2} Dn (Ь —юа)
+ у^еХрі-іф^^^ + СОі)
+1 tf2 ехр {- 1"фя} D11 (Я + G)2). "(3.6.15)
Очевидно, эта функция не будет иметь заметных пиков на частотах X = ± G)1, ± G)2, ..., если G)1 и G)2 так близки, что всплески соответствующих функций Dn гасят друг друга. Трудность эту можно преодолеть, если ввести в преобразование Фурье множители сходимости. А именно, используя (3.3.6) для ряда, зада-
ваемого формулой (3.6.14), получим
п
E А (4) * (О єхр {- ш\=т я* єхр W я°"
t~ -п
+ 1/?яехр{іфя}Я<»> (X-O)2)
+ 1/J1 ехрІ-^ІЯ^ (Я,+ o1)
+ 1 #2 ехр {- їфя} Я<"> (й,+ ©.).(3.6.16)
Если множители сходимости h(u/n) выбраны так, что Hin) (к) сосредоточена в некотором интервале, например в интервале j ЯI < А/я, то амплитуда функции, определяемой формулой (3.6.16), будет иметь отчетливые пики в случае JCO1- со21 > 2Д/я.
Отметим также ряд других применений конечного преобразования Фурье. Оно используется при вычислении собственных значений интересующих нас матриц [Lanczos (1955)], при оценке распределений, являющихся смесями [Medgyessy (1961)], при определении кумулянтной функции распределения по ее характеристической функции [Bohman (I960)].
3.7. Комплексные матрицы
и их экстремальные значения
Переходя к рассмотрению матриц с комплексными элементами, заметим, что примером такой матрицы является матрица спектральной плотности, введенная в § 2.5. Начнем с нескольких определений. Если Z = [ZJk] — матрица размера JxK, у которой на пересечении /-й строки и ^-го столбца стоит комплексное число Zjk, то обозначим через Z = [Zjk] матрицу, состоящую из элементов, комплексно-сопряженных к соответствующим элементам матрицы Z. Пусть Zx = [Zkj] —-матрица, транспонированная к Z. Говорят, что Z — эрмитова матрица, если ZT = Z. Эрмитова матрица Z размера JxJ называется неотрицательно определенной у если
S ajakZjk>0 (3.7.1)
і, k=\
для всех комплексных чисел а,, /=1, /. Квадратная матрица Z называется унитарной, если Z_1 = ZT, или, что эквивалентно, ZZX = i, где i—единичная матрица. Комплексное число (х называется собственным значением или характеристическим
числом J X /-матрицы Z, если
Det (Z-[Xl) = O,
(3.7.2)
где i —единичная матрица той же размерности, что и Z. Поскольку Det (Z—[Xl) является полиномом от [х порядка /, уравнение (3.7.2) имеет не более ./ различных корней. Для любого собственного значения [х всегда существует /-компонентный вектор а, такой, что
Это — классический результат [MacDaffee(1946)]. Такой вектор а называется собственным вектором матрицы Z. Если Z-—эрмитова матрица, то все ее собственные значения действительны [MacDaffee (1946)]. Упорядочив собственные значения в порядке возрастания, обозначим /-е из них через [ху. или \ij (Z), / = 1, ...,/, а соответствующий собственный вектор через cty или af (Z). .Набор собственных чисел квадратной матрицы называется ее спектром. Кратко обсудим связь между спектром матрицы и ранее определенным спектром второго порядка стационарного ряда.