Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 24

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 163 >> Следующая


Расширение теоремы 3.5.1 на случай, когда T = T1...Тк при некотором k и числа T1, Тк—целые, очевидно. В формуле (3.5.2) T2 теперь является составным числом и поэтому внутреннее преобразование Фурье по аргументу t2 само может быть записано в виде повторной процедуры (в виде (3.5.2)). Продолжая таким образом, мы видим, что dlp (2яТ-1/), / = 0, ... ..., T — 1, мбжет быть получено последовательным применением k дискретных преобразований Фурье порядков T1, Tk. Для этого понадобится произвести (T1+ ... +Тк)Т умножений комплексных чисел. Некоторые формулы, касающиеся этого случая, можно найти в работе Bingham и др. (1967).

Справедливо следующее обобщение теоремы 3.5.2.

Теорема 3.5.3. Пусть T = Тг.. .Тк, где T1, Тк—взаимно простые числа. Пусть /=^(modTJ, 0^/^Тг—1, Z=I," ... ..., k. Тогда

dT (2UT-1J) = • • • 2 ехр {- i2n (TrH1J1+... +nHkjk)} tt=o tk=o

ч X X (tJT? +...+ hTTi1), / = 0, ..., 7—1. (3.5.4)

Здесь X(t) означает периодическое продолжение X(t) с периодом Т.

Поясняя этот результат, заметим, что числа I1TjT1+... ... + tkT/Tky взятые по модулю Т, пробегают все целые значения t, 0<*<Г— 1, при 0^^7^-1, 0<*Л<ГЛ—1. При каждом / необходимо определить фигурирующие выше j19 ..., jk и выразить соответствующий коэффициент Фурье через те, которые предварительно были вычислены. Это можно сделать, составляя таблицу остатков от деления /, 0^/^Т—1, на Tі, I =11, ..., k.

Для вычисления результата по формуле теоремы 3.5.3 также необходимо произвести (T1+ ... +T^)T умножений. Отсюда видно, что наибольшая выгода получается, когда Tj малы. Если T = 2", то в сущности необходимо выполнить 2Т log2 T умножений. В конце § 3.4 приводились дискретные преобразования Фурье для T = I, 2, 3, 4. Изучение этих примеров показывает, что может понадобиться даже меньшее^число операций, чем указано выше. Случаи T =4 и T = 8 представляются особенно важными. Дополнительный выигрыш может быть достигнут при учете свойств X (t) или за счет преобразования нескольких рядов; см. Cooley и др. (1967), а также упр. 3.10.30.

Часто случается, что T не разлагается на большое число множителей, и нас не интересуют значения dp (X) на частотах вида 2nj/Ty / = 0, T—1. Если это так, то можно выбрать такое S > Ту которое разлагается на большое число множителей, и добавить S — T нулевых значений к набору X(t). Преобразование dp(X) теперь получается при A, = 2n//S, / = 0, 1, ... ...,5-1.

Совершенно очевидно, что мы можем комбинировать технику, предоставляемую теоремой 3.5.3, когда T разлагается на взаимно простые множители, с предыдущей процедурой, имеющей дело с произвольными множителями. Таким образом может быть сокращено число умножений на экспоненты. Подробности о случае T= 12 см. в книге Hamming (1962, стр. 74). Программу на языке Фортран для вычисления быстрого преобразования Фурье приводит Singleton (1969).

В заключение заметим, что быстрое преобразование Фурье— это прежде всего эффективный численный алгоритм. Используется такое преобразование или нет —на основных выводах статистического исследования это не скажется. Цель этого преобразования—радикальным образом сократить количество вычислений при эмпирическом анализе временных рядов.

3.6. Применения дискретного преобразования Фурье

Допустим, нам известны значения X (/), Y (t)> t = О, ... Г—1. Иногда бывает необходимо рассматривать свертку

2 X(t + u)Y(t), и = 0, ±1, ... . (3?. 1)

Если

7-1

йр(Ц = S X(t) ехр{—Ш},

*т-х (3.6.2)

d#>(X)= S Г (t) ехр {—Ш},

то сразу видно, что свертка (3.6.1) представляет собой коэффициент при ехр {—jXu) в тригонометрическом полиноме d(P (k) d(P(X) и, следовательно, свертка задается формулой

(2я)-1 J dp(K)dp^^p{iuX\dXy и^О, ±1, ... . о

(3.6.3)

Этот случай подсказывает, что свертку (3.6.1) можно вычислять, применяя дискретное преобразование Фурье, и тем самым использовать преимущества быстрого преобразования Фурье.

Лемма 3.6.1. Для данных X(t), 7(/), t = О, ..., Г— 1, и

целого 5>Т свертка (3.6.1) задается формулой

S-1 % dT (?-5) dp (??) ехр { і Щ

при и = 0, ±1, ± (S-T). (3.6.4) В общем случае (3.6.4) обращается в

X Х(з + и)?(1)ц(^р^). (3.6.5)

Взяв S достаточно большим, мы можем получить нужное значение свертки из (3.6.4). Если S выбрано разлагающимся на большое число множителей, то дискретные преобразования Фурье, используемые в (3.6.4), могут быть вычислены при помощи алгоритма быстрого преобразования Фурье, обсуждавшегося в предыдущем параграфе. Таким образом, свертка (3.6.1) быстрее вычисляется указанным методом, нежели прямо по определению (3.6.1). Этот факт подметил Sande [Gentleman, Sande (1966)],

а также Stockham (1966). Из формулы (3.6.5) видно, что при S—T <\и\^С.Т — 1 выражение (3.6.4) дает (3.6.1) плюс дополнительные члены. Для не слишком больших^ значений | и | оно будет примерно равно (3.6.1), и это справедливо для всех и, если взять S^2T.

Знание свертки (3.6.1) требуется, например, при оценке моментов Hi12(U) = E[X1^+ и)X2[t)] стационарного двумерного ряда. Несмещенная оценка ш12(и) задается формулой
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed