Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
л "li/a
(3.3.9)
Я "II/
J a2H{n)(a)da\
Это не что иное, как среднеквадратическая ошибка, или отклонение от нуля, если Н(п) (а) рассматривать как плотность вероятностного распределения на (—я, я). Parzen (1961) предложил такую меру концентрации:
^ ^HuIn) • (3'ЗЛ0)
w9to ширина, прямоугольника, имеющего ту же высоту, что и максимум Н{п)(а), и площадь, равную 1.
Особенно удобная в обращении мера задается формулой
[Я . ' "1 1/2
J (1 -cosa)tf<"> (a) da J
[я "її/а
J 2 sin2-J #<">(«) da
_[Г-[л(1)+» (-1)]/*]-. (3.3.1.)
Среди ее свойств отметим, в* частности, следующее: если А (и) обладает второй производной А"(0) в точке и = 0, то
Г~±[=*Ж]-~±[±^яЖа]-, (3.3.!?
что показывает связь этой меры с мерой Гренандера (3.3.9). С другой стороны, если ядро является сверткой ядер G{n) (a), #(B)(a), то можно показать, что при больших п
Рл*"~[(Р^в + (ОТ/я- <3-ЗЛЗ>
Отметим также, что если для некоторого q > 0, как предполагал Parzen (1961), существует
^=?-?^' <3-ЗЛ4>
то
P?~[V~'l1/a- (3.3.15)
В табл. 3.3.2 приведены значения и 1/#ы (0) для ядер, рассмотренных в табл. 3.3.1. С помощью этой таблицы можно составить представление об относительной асимптотической концентрации различных ядер.
Следующая теорема дает другое* средство исследования степени приближения функции А (К) суммами вида (3.3.5).
Теорема 3.3.1. Предположим, что A(K) имеет ограниченные производные вплоть до порядка P и функция
#(а)= (2я)-*$ А(х)ехр{—/ол}гіх (3.3.16)
такова, что для некоторого конечного К
.$|a|p|#(a)|da</C. (3.3.17)
Тогда
oo
ехр {— iku) h [fya (и)=^пН (па) А (к — a) da
=AW+ZjiTp{] &Н{а)й*^ЦР- + 0(п-р). (3.3.18)
Таблица 3.3.2
Концентрация Я" (а) в окрестности а= 0 для различных ядер
Ядро
3?
\/Н{п)(0)
Дирихле
0
п/п
Фейер
i/lTR
2 л/я
Де ла Валле-Пуссен
4я/3д
Хэмминг
я./2п
2п/п
Бохман
я3/4я
Пуассон
У log Ир/Vп
jx(log Mp)In
Риман
2/п
Гаусс
1/VIn
}Ґ2п/п
Коши
Mn
1/лп
Рисе
1/п
Зл/2п
Тьюки
0
2л/(п+/п)
По формуле (3.3.18) можно судить о том, как близость (3.3.5) к А (к) зависит от применяемого множителя сходимости. Желательно по возможности выбрать h так, чтобы интегралы
$&U(a)da = i-pl^\xsQ (3.3.19)
равнялись нулю для р —1,2, ... . Если h(x) = h(—x)> то так будет для всех нечетных р. Требование обращения в нуль для четных р эквивалентно тому, чтобы график h (х) был очень плоским в окрестности х = 0. В этом отношении примечательна последняя функция табл. 3.3.1.
Вообще говоря, выбор оптимальной функции h(u/n) зависит от конкретного вида интересующей нас функции А (к). Имеется развитая математическая теория наилучшего приближения функций тригонометрическими полиномами, см., например, Ахиезер (1947) или Тиман А. Ф. (1960). Bohman (1960) и Akaike (1968) исследовали множители сходимости, пригодные для приближения широкого класса функций, см. также Тиман М. Ф. (1962), Shapiro (1969), Hoff (1970), Butzer, Nessel (1971).
Wilkins (1948) привел асимптотические разложения вида (3.3.18), которые справедливы при менее ограничительных условиях.
В качестве применения материала, изложенного в этом параграфе, обратимся к задаче конструирования фильтра. Допустим, мы хотим определить-зависящие от времени коэффициенты а(и)> и = 0, ±1, ... , фильтра, имеющего заданную передаточную функцию A(X). Связь между а (и) и A (X) выражается формулами
я
а (и) = (2л)-1 J ехр {IuX)A (X) dX, (3.3.20)
-я
со
A(K)= 2 ехр{— іЩа{и). (3.3.21)
Фильтр, как мы знаем, имеет вид
со
F(O= S a{t-u)X(u), (3.3.22)
h = - oo
где X(t), t = 0y ±1, ... ,— исходный ряд. Вообще говоря, коэффициенты а (и) не обращаются в нуль при больших \и\, в то время как практически нам доступен лишь конечный отрезок наблюдений X(t). Это создает трудности для применения формулы (3.3.22). Можно поэтому поставить такую задачу: построить фильтр конечной длины, использующий конечное число наблюдений X (t) и имеющий передаточную функцию, близкую к A(X). Ее можно переформулировать как задачу отыскания таких множителей h(u/ri)> что сумма
п
ехр{— iXu}h(j)a{u) (3.3.23)
близка к A(X). Именно этот вопрос обсуждался выше.
Допустим, мы хотим аппроксимировать низкочастотный фильтр с усечением частот, превышающих по модулю Q < я, т. е. желаем аппроксимировать передаточную функцию
( 1 при
^ = I л , (3.3.24)
4 {0 при остальных л, v '
— д<Я<я. Коэффициенты этого фильтра
й - — при и=-- 0,
а^==1К \ ехР №и }dK =\ ^nQu
ил ПРИ ^^0-
Предыдущие рассуждения подсказывают, что имеет смысл рассмотреть фильтр, например, такого вида:
п
по= E Чт)^*^-")» (3-3-26)
где h (и/п) — некоторый множитель сходимости.
Предположим теперь, что мы хотим практически реализовать вычисление преобразования Гильберта, введенного в § 2.7. Передаточная функция этого фильтра такова:
0<Я<я,
A(X) = I О, Х = 0У (3.3.27)
[ —я<я<о,
и, следовательно, коэффициентами фильтра будут
