Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 20

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 163 >> Следующая


3.2. Ряд Фурье_59

Допустим, что

QO

2 I и \k І сі (и) I < оо при некотором &>0. (3.2.8)

U = - CD

Это условие связано со степенью гладкости А (а). При выполнении такого условия функция А (а) имеет ограниченные непрерывные производные вплоть до порядка k. Тогда

А {к)-А™ (к)= 2 ехр{—іки}а(и) (3.2.9)

\и\> п

и, следовательно,

|Л(А,)-Л<»>(Х)|< S |в(«)|

\и\> п

<>г-* S |и|*|а(и)| = о(п-*)1). (3.2.10)

\и\> п

Таким образом, степень аппроксимации А (к) суммами А{п) (к) оказывается тесно связанной с гладкостью А (к).

1) Мы будем использовать символы' Ландау о, О, записывая ап = о(рп), когда а„/р„—у о при п—> оо, и записывая а„=0(Р„), когда отношение 1ал/Рл1 ограничено для достаточно больших д.

Предостережем читателя, что, вообще говоря, А{п) (к) необязательно стремитдя к А (к) при п -—> оо даже в случае, когда А (к) является непрерывной ограниченной функцией к; Edwards (1967, стр. 150). Однако связь между функциями А (к) и А(п) (к) хорошо отражается формулой (3.2.5). «Регулярное» поведение разности А (к) — А{п)(к) особенно сильно нарушается в окрестностях точек разрыва функции А (к). При этом может иметь место явление Гиббса, когда превышение уровня А (к) значениями функции А{п) (к) не уменьшается с ростом п\ Hamming (1962, стр. 295) или Edwards (1967, стр. 172).

3.3. Множители, улучшающие сходимость

Fejer (1900, 1904) обнаружил, что даже непрерывные функции могут плохо приближаться частными суммами рядов Фурье. Поэтому вместо частных сумм (3.2.4) он предложил рассматривать следующие:

/2-1

X (і -Ц1-)а(и)ехр{—іки}. (3.3.1)

U =-п+1 ^

Используя выражение (3.2.2) и упр. 1.7.12, можно переписать (3.3.1) в виде



График функции

тИтгег]'- "«««"- (3-3-3>

изображен на рис. 3.3.1 при я = 2, 4, 6, 11. Легко видеть, что эта функция неотрицательна, сосредоточена в окрестности точки а= 0 и, согласно упр. 1.7.12, такова, что 4

JtMw]'*-1- (3'3-4)



'Она более плавно изменяется, чем функция (3.2.6), и ее график меньше „пульсирует". Эта большая регулярность приводит к тому, что функции, задаваемые формулой (3.3.2), сходятся к А (к), когда А (а) непрерывна, хотя в то же самое время (3.2.5) может и не сходиться к А(к)\ Edwards (1967, стр. 87). Введение в выражение (3.3.1) множителя 1—привело к расширению

1. г-

класса функций, которые могут быть хорошо представлены тригонометрическими рядами.

В общем случае мы можем рассматривать выражения вида-

2ехР {— іЩ h (-J) а (и), (3V3.5)

где h (х) —- некоторая функция, такая, что А (0) = 1 и h (х) = 0 при |#|>1. Множитель h(u/n), появляющийся в (3.3.5), называется множителем сходимости; Moore (1966). Положим

#(''Ч^ = ІІ>(|)ехр{-шМ, (3.3.6)

и

тогда (3.3.5) можно переписать как

J Я(п,(а) А (к —a) da, (3.3.7)

— JT

т. е. как взвешенное, среднее интересующей нас функции.

Было предложено очень много различных множителей сходимости h(u/n). Некоторые из них вместе с соответствующей функцией Н(п) (X) приведены в табл. 3.3.1. Типичное поведение h(u/n) таково: максимум, равный 1, при и = 0> а дальше неуклонное убывание к 0 при возрастании | и | от 0 до я. Множители сходимости также назывались окнами просмотра данных и коэффициентами сглаживания; Tukey (1967).

4
Таблица 3.3.1
Некоторые множители, улучшающие сходимость

ft (и/п), 0 < J и J < п
Я(В)(Л), -Ж.Жя
Авторы

1
sin (л+4-) Х
OnW=-*—f1-
2я sin у Я,
Дирихле [Edwards (1967)]

~ \и\ п
1 Г sin лЯ,/2 ]2 2пп L sin К/2 J
Фейер, Бартлет [Edwards (1967)] [Parzen (1963)]


2+cos А, Г sinnA,/4 ~U 4ял3 L sin Я/4 J
Де л а Валле-Пуссен Джексон, Парзен [Ахиезер (1947), Parzen (1961)]



Хэмминг, Тьюки [Blackman, Tukey (1958)]

1 —--L COS-
V п J п
. 1 . Jt I M1"
+—sin-•-L
• „с„ (l + COSrtX)
e .(n4t»—я»)»
Бохман
[Bohman (1960)]

р!"1/Л 0<|u|<n
• 1 1-PV"
Пуассон

0 < р < 1
2jl 1—2p,/ncosX.+p2/"
[Edwards (1967)]

. и sin —
Al
п
= 0 в противном случае
Риман, Ланцош [Edwards (1967), Lanczos (1956)]

ехр{ а,»}
. п і \
= К2-ЄХРІ 2 }
Гаусс
Вейерштрасс [Ахиезер (1947)]

ла

Рисе, Бохнер Парзен
[Bohner (1936), Parzen (1961)]

Продолжение

h (и/п), О< I и |< п Н{п) (Я), -Л < X < л Авторы

1 0 < I и I < fn ' Тьюки

1/1JL .Г 1*1 Л//1 *Л [Tukey (1967)] ¦

//г <; I * I <: где О < / < 1

Характерный вид весовой функции Н[п) (X) таков, что она становится все более сконцентрированной в окрестности нуля при п —>оо. Как и следовало ожидать, из (3.3.6) вытекает

л

J Я(»>(а)Жх=1. (3.3.8)



Рассмотрение выражения (3.3.7) наводит на мысль, что для некоторых целей желательно выбирать Н{п) (X) неотрицательной. Функции, фигурирующие во второй и третьей строках табл. 3.3.1, обладают этим свойством. Функция Нп (X) получила название частотного окна или ядра. Из (3.3.7) мы видим, что близость функцди (3.3.5) к А (к) связана со степенью сосредоточения Я" (а) в окрестности а = 0. Предлагались различные меры этой концентрации, т. е. ширины полосы пропускания. Press и Tukey (1956) предложили использовать ширину полосы, отвечающей половинной мощности, равную aL — aUy" где aL и аи—соответственно первая положительная и первая отрицательная точки, в которых Н(п) (а) = Н(п) (0)/2. Grenander (1951) предложил в качестве такой меры величину
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed