Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
здесьт = min (Z1, ..., а = (а„ ..., ак) и /Св1.....fl/fe = cum {efli (0, ..., е (/)}.
2.13.31. Пусть Ф(Г), Г=1, 2, ...,—последовательность положительных чисел, обладающая свойствами: Ф (T)—> оо и Ф(Г+1)/Ф(Г)—» 1 при T—> oo. Пусть X(O, Z=O, ± 1, есть л-компонентная функция, такая, что
Т-\и\
lim Ф(Г)-і 2 X(Z + «)X(Z)* = m*x(«) г-* • t=o
для м = 0, ? 1, .... Покажите, что существует лХ/'-матричная функция &ХХ —я < Х<;я, такая, что» я
™хх(") = 5 ехр {шХ}^^(X) при u = 0t ± 1, ... . -я
Указание. Определите 1^х(Х) как в доказательстве теоремы 2.5.2 [Boch-
я
пег (1959), стр. 329), Grenander (1954)].'Докажите, что ^ A (a) 1? (a)da—*
-я
я
—> ^ A(a)rfGxx(a) для функции Л (а), непрерывных на [—я, я], -я
2.13.32. Пусть X(Z), Z = O, ± 1, —векторный стационарный ряд с ку-мулянтным спектром fa^ .".., a (X1, •••» • Определите кумулянтный спектр
ряда X (— Z), Z = O, ± 1, ...,с измененным направлением времени.
2.13.33. Покажите, что
GO OO
(2л)-1 2 ехр {-Ли}= 2 «(^—2JtZ) = T1(X)
U = -со / =-со-
ПрИ — оо < X < оо (формула суммирования Пуассона, Edwards (1967)).
2.13.34. Покажите, что функция схх(и) не может быть автоковариационной функцией, если схх(и)—1 ПРИ |м|*^т.и схх(и) = Q для остальных и.
2.15.35. Рассмотрим J независимых реализаций стационарного процесса Xy(Z), Z = O, і 1, .... /=0, /—1. Введем
Y (sJ +J) = Xj (s) при / = 0, / —1; s = 0, ±1, ... .
Покажите, что K(Z), Z = O, ±1, — стационарный ряд и его спектром мощности является fXX (X-O-
2.13.36. Пусть X(Z), Z = O, ± 1, ...,—линейный процесс
X (Z) =2 a (Z-U) е (и), и
2 І а (а) І < оо, AT- = cum {є (0), ..., є (0)1.
Покажите, что условие 2.6.3 удовлетворяется, если для г в некоторой окрестности нуля
2.13.37.. Фильтр называется устойчивым, если поступающий на вход ограниченный ряд он преобразует в ограниченный ряд. Покажите, что суммируемый фильтр устойчив.
2.13.38. Пусть х СО, Z = O, ± 1, — процесс авторегрессии порядка 1 и 8(Z), Z = O, ± 1, ..., — белый шум. Положим X (Z) = х (Z) + є (Z). Покажите, что Л" (Z), Z = O, ± 1, —смешанный процесс авторегрессии и скользящего среднего порядка (1,1).
. 2.13.39. Сформулируйте и докажите обобщение теоремы 2.9.1 в том случае,-когда ряды X(Z) и Y(Z) принимают векторные значения.
з
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ МАТРИЦЫ
3.1. Введение
Преобразование Фурье будет нашим основным аналитическим средством при изучении временных рядов. В этой главе излагаются те разделы фурье-анализа, которые понадобятся в дальнейшем; рассматриваемые здесь функции чаще всего предполагаются детерминированными. Изучение стохастических свойств преобразований Фурье временных рядов мы отложим до следующей главы.
Ниже обсуждаются такие вопросы, как степень аппроксима* ции функции частными суммами ее ряда Фурье, увеличение точности этой аппроксимации с помощью улучшающих сходимость множителей, преобразование Фурье конечных последовательностей и способы быстрого вычисления таких преобразований Фурье, спектр матрицы и его связь с аппроксимацией одной матрицы другой матрицей меньшего ранга, свойства функций от преобразований Фурье и, наконец, спектральное или гармоническое представление некоторых функций.
Начнем с рассмотрения ряда Фурье функции А (К).
3.2. Ряд Фурье
Пусть A(1K), —оо<А,<оо, — комплексная функция, имеющая период 2д, такая, что
J \A(X)\dk< оо. (3.2.1)
— JT
Коэффициенты Фурье функции A(K) задаются .формулой
я
а(«) = (2я)-* J ехр {iuty A (k)dX, и = О, ±1.....(3.2.2)
-Я
Тогда ряд
OO
2 exp{—iXu}a(u) (3.2.3)
U-- GO
называется рядом Фурье функции А (X). Имеется обширная литература, посвященная рядам Фурье и свойствам коэффициентов Фурье (например Zygmund (1959) и Edwards (1967)). Значительное внимание в литературе уделяется исследованию частных сумм
п
А™ (к) = 2 ехр{— іЩа(и), п = 0, 1, 2, ... . (3.2.4)
U= -п
В этой книге нам много раз придется оценивать близость А{п) (к) к A (X) при больших п. Прежде всего заметим, что из (3.2.2) и упр. 1.7.5 вытекает следующая формула:
sin (л + 4-) а
—V-U_ А(Х-а) da. (3.2.5)
2я sin
Графики функций
sinfn + ~)a
Dn (а) =-*-У—, 0<а<я, (3.2.6)
2я sin —
изображены на рис. 3.2.1 для /і=1, 3, 5, 10. Отметим, что функция Dn(a) знакопеременна и при больших п она, так сказать, все более сосредоточивается в окрестности точки а = 0. При этом, как следует из упр. 1.7.5,
P sinfn+~)a
I -і-tl— da = 1. (3.2.7)
J 2jt sin -jr--я *
Эти свойства Dn (а) показывают, что A(n) (X) является взвешенным средним функции A (X—а) с весом, сосредоточенным в окрестности а = 0. Если функция Л (а) достаточно регулярна, то было бы естественно ожидать, что Ain) (X) близки к A (X) при больших п. Можно, например, доказать, что, если А (а)—функция ограниченной вариации, Ain) (X) стремятся к A (X) при п—+оо; Edwards (1967 стр. 150).
Налагая дополнительные условия регулярности, можно оценить скорость приближения А(п) (X) к A(X) при п—>оо.
