Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
[/п (X)Z22MJ IgIlMg22M]*
2.13.8. Докажите, что 6(*)= lim nW (пх), если функция W такова, что
J I ИГ (*).«**< оо и $ IP 1-
2.13.9. Пусть X(O» Y(O—независимые r-компонентные векторные ряды с • кумулянтными спектрами fa (К) = fau ><м а (K1, ..., X^) и ga (X) =
~&at.....ak (¦X17 Kfr) соответственно. Докажите, что кумулянтный спектр
X(O+Y(O равен fa (X)+ ga (К).
2.13.10. Докажите, что если X(O и a (t) принимают действительные значения, Y (t) = J^jU a (t — и) X (и) и X(O имеет кумулянтный спектр fXi х (^i' • • • » **k)> то кумулянтный спектр процесса Y (t) равен A (X1)'... A (Kk)fxt..., jp(XlfJ..f Kk).
2.13.11. Докажите, что fa±.....^(X1, X*) = /flj.....^(-X1, - Kk)
для векторного ряда с г действительными компонентами.
2.3.12.- Докажите, что если X(O—стационарный гауссовский марковский векторный процесс с г компонентами, для которого
E(X (X (O)-Ji)^= с»(и), Ji=EX (а),
то
^(«) = (^(1)(^(0))-^^(0), и^0
И СХХ\и) = (CXX (— "))Т , 'W < 0.
2.13.13. Докажите, что спектр мощности действительного стационарного гауссовского марковского процесса имеет вид
оа/(1+р2—2pcosX)2n, — я < Х<я, —-1<р<1.
2.13.14. Приведите пример, показывающий, что процесс X (Z), определенный в § 2.11, не обязательно является эргодическим.
2.13.15. Пусть (t), / = 0, ±1,...; N= 1, 2, —последовательность рядов, удовлетворяющих условию 2.6.1. Предположим, что
|cum{X<f (/+%), X^1 (/+«*_!), Х<?>(/)} j
<Sai.....ак(цЪ ... »
для t, «і, ... , «*-ї = 0, ? 1, ... ; W=i, 2, ... , где
2 Sa1.....аЛи^ • > < °0-
Предположим еще, что при N —у оо все конечномерные распределения процесса Х<М(/), * = 0, ± 1» ••• » сходятся по распределению к конечномерным распределениям процесса Х(/), / = 0, ±1, .... Требуется показать, что
2 I cum {Хаі (/ + «О, ... , Ха^ (t +ик^)9 Х% (/)} j < оо . "і.....
2.13.16. Покажите, что для фильтра
Y (t) = Х (0—2 cos O)X (/ — 1) + X (/--2)
передаточная функция обращается в нуль при X = ? о). Рассмотрите результат воздействия этого фильтра на ряд
X (t) = R cos ((0/+0 ) + є(0, / = 0, ±1,____
2.13.17. Пусть X(Z) = I для (2/ —1)2 < / < (2/)2 и - (2/)2 < / <-(2/-1)2, /= 1, 2,..., и пусть X(O = —1 для (2/)2 < / < (2/+1)2 и— (2/+I)2 < / <—(2/)2, /=0, 1, 2, ... . Докажите, что функция X(Z) удовлетворяет условиям из § 2.11, и определите ассоциированный с ней случайный процесс.
2.13.18. Положим X (t) = R cos (о)/ + ф), где со и ф постоянные. Докажите, что функция X(Z) удовлетворяет условиям § 2.11, и определите ассоциированный с ней случайный процесс.
2.13.19. Пусть X(Z), Z = O, ±1, и Y (Z), Z = O, ?1, ...,— независимые ряды с нулевым средним и спектрами мощности соответственно fxx (X) и fyY (X). Покажите, что спектр мощности ряда X(Z)K(Z), / = 0, ±1, ... , задается формулой
я
\ fxx(b—<*>)fYY(<*)da. -я
2.13.20. Пусть X(O» / = 0, ±1, ...,— гауссовский ряд с нулевым средним и спектром мощности fxx ft)- Покажите, что спектр мощности ряда X (Z)2, Z = 0, ±1, определяется выражением
я
2 J fxx^—v<)fxx(v<)da. -я
2.13.21. Докажите, что если X(Z)—действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1, то [X(Z)]2 также удовлетворяет условию 2.6.1; определите его кумулянтный спектр.
2.13.22. Докажите, что если при некотором / ряд X (Z) удовлетворяет условию 2.6.2 (/) и Y (Z) =2« а {t — u) X («), где а (и) есть яХ^-фильтр, такой, что
2 I w N aJk (и) I < оо, /= 1, ... , s, k= 1, ... , г, то Y (О удбвлетворяет условию 2.6.2 (I).
2.13.23. Говорят, что sXr-филътр а (и) имеет ранг t> если A(X) имеет ранг t при каждом X. Докажите, что в этом случае действие а (и) эквивалентно применению сначала tХ/*-фильтра, а затем sXZ-фильтра.
2.13.24. Докажите, что если X (0 = 2«=оа — е (w)» гДе е(0—векторный /--компонентный белый шум и {а (г/)}—суммируемый s X л-фильтр, то функция \хх M может быть представлена в виде Ф (еіх) Ф (еЩх, где Ф (2) есть sXr-матричная функция с элементами, аналитическими в круге [z|^l.
2.13.25. Докажите, что если X(0=2"e0 я (/ — и) є (м)> гДе 8 (и)—Действи-, тельный белый шум и 2 (и) < 00» то кумулянтный спектр &-го порядка
fx...X (К ...» ^) имеет вид ФО?17"1) ... Ф (/^), X1+... + ^ s О (mod 2я), где Ф (2) — аналитическая функция в круге | г \ < 1.
2.13.26. Докажите, что если X(O— процесс скользящего среднего порядка /л, то су* («) = О при I и \ > т.
2.13.27. Покажите, используя функциональный подход к анализу временных рядов, что У (0 = 2« a (t —и)Х (и), 2-001 а (") I < 00 определяет фильтр. Укажите связь между спектрами У (/) и X (/).
2.13.28. Покажите, что V1(Z), V2 (^), определяемые формулой (2.7.33), получаются из X (t) с помощью фильтров с коэффициентами {а (и) cos X0 и}9 {а (и) sin Х0и} соответственно.
2.13.29. Докажите, что б (ах) = | а |_1 б (х).
2.13.30. Пусть X (t)—стационарный векторный ряд с г компонентами, такой, что Xj(t) = pjXj(t—1) + 8/(0» I Py I < 1» / = 1» •••» ^ где є (0 есть r-компонентный белый шум. Докажите, что
*......-и.......*>-«<¦......°.(П/Г)/(-Д><');
