Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 143

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 163 >> Следующая

А = Гі/« ІуД/Г-і/»^^.

Значение минимума, как легко видеть, совпадает с указанным.

Доказательство теоремы 10.2.2. Пусть сначала матрица E фиксирована. Тогда теорема 10.2.1 показывает, что минимум рассматриваемой функции р> и D равен

trfEZ^E*}- 2 My ?2»??!*'). Положим U = ESyZy. Тогда U1U=I; запишем

tr{U*U}- 2 ^(UTS?]>/2S^SxiSXKSyy2U).

Далее соответствующие собственные значения будут максимальны, если взять столбцы матрицы lir равными первым q собственным векторам матрицы ^yy/2^yx^xx^xy^yy2\ см. Bellman (1960), стр. 117. Отсюда сразу же следует утверждение теоремы.

Доказательство теоремы 10.2.3 проводится так же, как приведенное ниже доказательство теоремы 10.2.6.

Доказательство теоремы 10.2.4 вполне аналогично рассмотренному доказательству теоремы 10.2.1.

Доказательство теоремы 10.2.5 не отличается по существу от доказательства теоремы 10.2.2.

Доказательство теоремы 10.2.6 Пусть Ахх=%хх — %хх, величины Ayк и &yy определяются по аналогии. Рассуждения, приведенные в Wilkinson (1965, стр. 68), или Dempster (1966), показывают, что справедливы разложения

Ь = Иу—Hy (*7Аиаі) 7 Иу (Ь/Ап*/) + (a/Ajcyb/) + (b/Д гаау) + ... , где

Sn = fa/ -1*/) "1 [— Р/ №хх*!) - Р/Р' к А)

+ Р/ (a?A*yb/) + Р/ (Ь?Агаа,)]

и

Луї= (Иу—И*)"1 [— Р/Р* (а'Лм»/)-Р?(bfAyyb/)

+ Pi (а?Д^уЬ/) + ру (bJAy^ay)].

Используя выражения, полученные при доказательстве теоремы 9.2.4, мы видим, что

cov {gJt, gkm) = (ру-р,)-2 (1 -|ху) (ру + р, -2P7P;), если j = k, / = т, и в противном случае равно нулю. Аналогично

cov{gJl9 gkm\ = — (р/— P^)-Mp7V^ + Р/р!-4р/р,-р2--р? + р/ + ^) при / = т, / = & и cov (g/t, gkm) = О в противном случае. Далее

cov {g,7, йЛя} = (р7 - р,)~2 (1 -р7) (2 - р7 -рД если 1 = т\

cov {ft,, /Г^} = - (р,- р,)"2 (PJp1 + р?р?

- р} - PJp! - 2р|р, - 2Р/Ру + PH pj),

если / = т, / = и т. д.

Выписанные ранее разложения и эти выражения для моментов позволяют получить требуемые формулы для асимптотических моментов первого и второго порядка. Асимптотическая нормальность оказывается следствием асимптотической нормальности величин 2ХХ, 2ХУ, En, и свойства, вытекающего из теоремы Д5.2: собственные значения и собственные векторы являются дифференцируемыми функциями матриц.

Доказательство теоремы 10.3.1. Выражение (10.3.3) можно записать в виде

S tr {fу_у9 Y-Y*. (a)} da +{E [Y (t) - Y* (t)]\* {E [Y (t) - Y* (*)]}.

о

Ясно, что следует выбрать р, так, чтобы EY (^) = EY* (t). Рассмотрим fу- у*, у- у* (а) = іYY (0O — С (а) В (а) \XY(a) — f к* (0O В (а)тС (а)т + С (а) В (а) fхх (а) W

= *уу И - f кх (а)fхх (<*)-1 f xy И

+ ['я (*) (о^)"1/2—-С(а) В (а) ixx (а)*/2]

X [fYx (а) (а)"1/2 ~С (а) В (а) fxx (а)*/2]*.

В силу следствия 3.7.4, выражение (10.3.3) минимизируется указанными в теореме В (а) и С (а).

Доказательство следствия 10.3.1. Этот результат получим, применив теорему 10.3.1 к преобразованному ряду



Y' (t) = $ ехр {iua) iYY (a)"1/2 dZy(a), о

заметив, например, что

Irх (X) = fw(X)"l/H„(X).

Доказательство теоремы 10.3.2. Нас интересует когерентность IA (Я) fry (Я) B(Xf I2 [A (X) fxx (X) A (Xf] [В (X) fyy (X) В (Х)т]

^ 1 A- (X) fxx (X)-1/2 ffjgy (Я) fкг (XT^2 W I2 [A' (Я) A' (Xf][B' (X)B' (Xf] 'здесь использованы обозначения

A' (X) = A (X) f„ (X)I/2, В' (X) = В (X) fyy(X)I/2'. Применив неравенство Шварца, видим, что указанная когерентность не превосходит _

В' (X) fyy (X)-1IHyx (X) \хх (Я)-* \XY (X) fYY щ-1/2 B7IXf Bf (X) Bf (Xf

< Иу Pit W"172 Іух (X) f„ (X)-1 f „(X) f„(X)-I/»]

для В'(X), ортогональных V1(X), ... , Vy^(X), т. е. первым / — 1

собственным векторам матрииміуу2іуХіххіХуіуу2\ см. упр. 3.10.26. Утверждение теоремы относительно Ву.(Х) вытекает из (10.3.25), а относительно Ау. (X) проверяется непосредственно.

Доказательство теоремы 10.3.3. Так как при всех X матрица іух^хЬс^ху имеет простые собственные значения, то собственные значения и векторы этой матрицы являются действительными голоморфными функциями ее элементов, см. упр. 3.10.19—3.10.21. Поэтому из теоремы 3.8.3 получаются выражения (10.3.28) и (10.3.29). Выражение (10.3.30) выводится из (10.3.26)-(10.3.29).

Доказательство теоремы 10.3.4. Собственные значения матрицы і>у^iyxixxfxyf:v:Y/2 простые при всех X, поэтому и они, и соответствующие им собственные векторы являются действительными голоморфными функциями матричных элементов, см. упр. 3.10.19—3.10.21. Выражения (10.3.33) и (10.3.34) следуют из теоремы 3.8.3. Тот факт, что спектральная плотность имеет вид (10.3.36) вытекает из теоремы 10.3.1 либо проверяется прямым вычислением.

Доказательство теоремы 10.4.1. Оно проводится так же, как доказательство теоремы 9.4.1. Единственное отличие заключается в том, что используются разложения теории возмущений, фигурирующие в доказательстве теоремы 10.2.6.

Доказательство теоремы 10.4.2. Оно проводится по аналогии с доказательством теоремы 10.2.6 с привлечением тех же разложений.

Доказательство теоремы 10.4.3. Величины ру, Ау- и Ву являются непрерывными функциями элементов матрицы (10.4.25). Поэтому утверждение вытекает из теоремы 7.3.3 и теоремы Д5.1.
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed