Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
А = Гі/« ІуД/Г-і/»^^.
Значение минимума, как легко видеть, совпадает с указанным.
Доказательство теоремы 10.2.2. Пусть сначала матрица E фиксирована. Тогда теорема 10.2.1 показывает, что минимум рассматриваемой функции р> и D равен
trfEZ^E*}- 2 My ?2»??!*'). Положим U = ESyZy. Тогда U1U=I; запишем
tr{U*U}- 2 ^(UTS?]>/2S^SxiSXKSyy2U).
Далее соответствующие собственные значения будут максимальны, если взять столбцы матрицы lir равными первым q собственным векторам матрицы ^yy/2^yx^xx^xy^yy2\ см. Bellman (1960), стр. 117. Отсюда сразу же следует утверждение теоремы.
Доказательство теоремы 10.2.3 проводится так же, как приведенное ниже доказательство теоремы 10.2.6.
Доказательство теоремы 10.2.4 вполне аналогично рассмотренному доказательству теоремы 10.2.1.
Доказательство теоремы 10.2.5 не отличается по существу от доказательства теоремы 10.2.2.
Доказательство теоремы 10.2.6 Пусть Ахх=%хх — %хх, величины Ayк и &yy определяются по аналогии. Рассуждения, приведенные в Wilkinson (1965, стр. 68), или Dempster (1966), показывают, что справедливы разложения
Ь = Иу—Hy (*7Аиаі) 7 Иу (Ь/Ап*/) + (a/Ajcyb/) + (b/Д гаау) + ... , где
Sn = fa/ -1*/) "1 [— Р/ №хх*!) - Р/Р' к А)
+ Р/ (a?A*yb/) + Р/ (Ь?Агаа,)]
и
Луї= (Иу—И*)"1 [— Р/Р* (а'Лм»/)-Р?(bfAyyb/)
+ Pi (а?Д^уЬ/) + ру (bJAy^ay)].
Используя выражения, полученные при доказательстве теоремы 9.2.4, мы видим, что
cov {gJt, gkm) = (ру-р,)-2 (1 -|ху) (ру + р, -2P7P;), если j = k, / = т, и в противном случае равно нулю. Аналогично
cov{gJl9 gkm\ = — (р/— P^)-Mp7V^ + Р/р!-4р/р,-р2--р? + р/ + ^) при / = т, / = & и cov (g/t, gkm) = О в противном случае. Далее
cov {g,7, йЛя} = (р7 - р,)~2 (1 -р7) (2 - р7 -рД если 1 = т\
cov {ft,, /Г^} = - (р,- р,)"2 (PJp1 + р?р?
- р} - PJp! - 2р|р, - 2Р/Ру + PH pj),
если / = т, / = и т. д.
Выписанные ранее разложения и эти выражения для моментов позволяют получить требуемые формулы для асимптотических моментов первого и второго порядка. Асимптотическая нормальность оказывается следствием асимптотической нормальности величин 2ХХ, 2ХУ, En, и свойства, вытекающего из теоремы Д5.2: собственные значения и собственные векторы являются дифференцируемыми функциями матриц.
Доказательство теоремы 10.3.1. Выражение (10.3.3) можно записать в виде
S tr {fу_у9 Y-Y*. (a)} da +{E [Y (t) - Y* (t)]\* {E [Y (t) - Y* (*)]}.
о
Ясно, что следует выбрать р, так, чтобы EY (^) = EY* (t). Рассмотрим fу- у*, у- у* (а) = іYY (0O — С (а) В (а) \XY(a) — f к* (0O В (а)тС (а)т + С (а) В (а) fхх (а) W
= *уу И - f кх (а)fхх (<*)-1 f xy И
+ ['я (*) (о^)"1/2—-С(а) В (а) ixx (а)*/2]
X [fYx (а) (а)"1/2 ~С (а) В (а) fxx (а)*/2]*.
В силу следствия 3.7.4, выражение (10.3.3) минимизируется указанными в теореме В (а) и С (а).
Доказательство следствия 10.3.1. Этот результат получим, применив теорему 10.3.1 к преобразованному ряду
2л
Y' (t) = $ ехр {iua) iYY (a)"1/2 dZy(a), о
заметив, например, что
Irх (X) = fw(X)"l/H„(X).
Доказательство теоремы 10.3.2. Нас интересует когерентность IA (Я) fry (Я) B(Xf I2 [A (X) fxx (X) A (Xf] [В (X) fyy (X) В (Х)т]
^ 1 A- (X) fxx (X)-1/2 ffjgy (Я) fкг (XT^2 W I2 [A' (Я) A' (Xf][B' (X)B' (Xf] 'здесь использованы обозначения
A' (X) = A (X) f„ (X)I/2, В' (X) = В (X) fyy(X)I/2'. Применив неравенство Шварца, видим, что указанная когерентность не превосходит _
В' (X) fyy (X)-1IHyx (X) \хх (Я)-* \XY (X) fYY щ-1/2 B7IXf Bf (X) Bf (Xf
< Иу Pit W"172 Іух (X) f„ (X)-1 f „(X) f„(X)-I/»]
для В'(X), ортогональных V1(X), ... , Vy^(X), т. е. первым / — 1
собственным векторам матрииміуу2іуХіххіХуіуу2\ см. упр. 3.10.26. Утверждение теоремы относительно Ву.(Х) вытекает из (10.3.25), а относительно Ау. (X) проверяется непосредственно.
Доказательство теоремы 10.3.3. Так как при всех X матрица іух^хЬс^ху имеет простые собственные значения, то собственные значения и векторы этой матрицы являются действительными голоморфными функциями ее элементов, см. упр. 3.10.19—3.10.21. Поэтому из теоремы 3.8.3 получаются выражения (10.3.28) и (10.3.29). Выражение (10.3.30) выводится из (10.3.26)-(10.3.29).
Доказательство теоремы 10.3.4. Собственные значения матрицы і>у^iyxixxfxyf:v:Y/2 простые при всех X, поэтому и они, и соответствующие им собственные векторы являются действительными голоморфными функциями матричных элементов, см. упр. 3.10.19—3.10.21. Выражения (10.3.33) и (10.3.34) следуют из теоремы 3.8.3. Тот факт, что спектральная плотность имеет вид (10.3.36) вытекает из теоремы 10.3.1 либо проверяется прямым вычислением.
Доказательство теоремы 10.4.1. Оно проводится так же, как доказательство теоремы 9.4.1. Единственное отличие заключается в том, что используются разложения теории возмущений, фигурирующие в доказательстве теоремы 10.2.6.
Доказательство теоремы 10.4.2. Оно проводится по аналогии с доказательством теоремы 10.2.6 с привлечением тех же разложений.
Доказательство теоремы 10.4.3. Величины ру, Ау- и Ву являются непрерывными функциями элементов матрицы (10.4.25). Поэтому утверждение вытекает из теоремы 7.3.3 и теоремы Д5.1.