Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 142

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 163 >> Следующая


Приведенное доказательство является аналогом рассуждений Okamoto, Kanazawa (1968), относящихся к действительному случаю.

Доказательство теоремы 9.2.4. Справедливы следующие разложения в ряд Тейлора:

(i/ = H-/ + Vj{S„-S*x}Vy + ..., (*)

V7=-Vy+ S Pn-SnIVjV^-I.,} + .... (**)

См. Wilkinson (1965, стр. 68).

Убедившись, что величина **хх асимптотически нормальна со средним и

А/ллг IV V I ^fllbl^afla

cov{s<w 2M.} =-п-t

приходим к полезному результату упр. 4.8.3(b):

cov {aTSp,vTS8} = 2вів>ЬЛ---

_ (aTSxxV)(ftTSxxP)

для векторов a, p, v, 8, имеющих г компонент. Пользуясь этими выражениями, выводим формулы для асимптотических моментов из (*) и (**). Например,

™v{V;, V,}_

= 22 (VJ2„Ve) (vp5„Vy) V1VbZ[OAy - Ji1) - |іJ]M + ...,

І ф j т Ф k

= S S (VFSxifV*) (УЗДУ, V^[Uv -Ji1)Oi4- |і J]/n+... .

Отсюда получаем требуемые выражения для ковариации, поскольку собственные векторы V7- удовлетворяют соотношениям

V -/ ^ при р = <?'

vP*"va-\ 0 при рфд.

Свойство асимптотической нормальности вытекает из асимптотической нормальности 2.^ и из теоремы Д5.2.

Доказательство теоремы 9.3.1. Можно переписать (9.3.3) в виде

|[^~^~(Sc(i/)^c^TJcx~^--f2c(w)j c;j j,

+ S tr {[I - A (a)] f „ (a) [I-A (a)]* da,

где A (a) = C (a) B (a). Первое слагаемое можно обратить в 0, выбрав 1* = ?- (2с(и))с; = с?-^2с(и)) (и)) с*.

Второе же слагаемое будет минимальным, если минимален при каждом а след

tr {[f„ (a)*/* - A (a) f„ (a)*/« ] [l„ (a)i/« - A (a) f„ (a)^f},

здесь A (a) —матрица ранга не выше Теорема 3.7.4 показывает, что следует взять

A(X)=SV7(X)VT(T)S

/=і у '

где Vy(X) есть /-й собственный вектор матрицы f** (X) 1^, а тем самым и собственный вектор матрицы fxx (X)1/2 .Теперь ясно, что при указанном выборе B(X) и C(X) действительно достигается минимум.

Доказательство теоремы 9.3.2. Мы получим утверждение, рассмотрев выражение кросс-спектра (t) и ?>k(t):

- [ р,(Х) при j = k,

!„(4V1W-J^i' ;ри^,.

Доказательство теоремы 9.3.3. Поскольку при любом X матрица ixx (X) имеет простые собственные значения, то, согласно результатам упр. 3.10.19—3.10.21, эти собственные значения и соответствующие собственные векторы будут голоморфными (в действительном смысле) функциями матричных элементов.

Выражения (9.3.29) и (9.3.30) мы получим, сославшись на теорему 3.8.3. Из этих выражений, в свою очередь, выводим (9.3.31) и (9.3.32), привлекая (9.3.28).

Доказательство теоремы 9.3.4. Искомая величина Bx (X) должна быть некоторой линейной комбинацией строк V^(X)T, k=l9 пусть это будет

В/ (X) = Gn (X)VT(X)* + ... + Gir (X) v7Tx)T.

Нужный нам ряд должен быть ортогонален ?>k(t), &< /, поэтому при k< j все GJk (X) = O. "Дисперсия величин (9.3.33) может быть

представлена в виде

2 Gjk (X) \2\ik (Я),

где 21 (Я) j2= 1. Очевидно, что эта дисперсия максимальна,

если

0 при 1фк9

что и требовалось показать.

Доказательство теоремы 9.3.5. Матрица спектральной плотности ряда (9.3.35) задается выражением

[1-А(Х)]ЇХХ(Х)[І-А(Х)]\

в котором А (Я) = С (Я) В (Я). Теорема 9.2.3 показывает, что собственные значения минимальны при упомянутом в формулировке утверждения выборе В (Я) и С (Я).

Доказательство теоремы 9.4.1. По теореме* Виланда—Хофф-мана [Wilkinson (1965)],

, 2Я 2

fjP (X)-Iw^ (1-а) f/k(a)da .

2||if(*)-vf (Я)«|< s

/=1 j, k=\

Кроме того, из теорем 7.4.1 и 7.4.3 следует, что



f}P (K)-I W«> (K-a)f/k(a)da

= 0 (Bf1T-I),

и так как

IE[Hf(X)-Vf (Л)]|»<ЕК>

T

С E

^f W~vf (Я)]* SjHf W-vf (Л)|«],

то получается выражение (9.4.5).

Выражения (9.4.6) и (9.4.7) выводим из-разложений в ряд Тейлора, употреблявшихся при доказательстве теоремы 9.2.4:

IXfW = Vf(X)

+ щЩх № W - SW<T) (*-«) («) <4 uf (Л) +..., vf W = Uf (Я)

+ 2.[0FW i ifx (Я) - J (Я-а) fxx (а) da) Uf (Я) j X Uf W/{vf (Я) — vf (Я)} -J-.....

Доказательство теоремы 9.4.2. Формулы (9.4.13) и (9.4.14) получаем из выражений, использованных при доказательстве теоремы 9.2.4:

vf 4X)=Py (X)+V^jj W<T>(X-a) f„(a)<fa - ixx (X) j V7(X)+..., + S f>ШТ ( S ^ (*—*) («) Аь-ін (X)} V7 (X)

XV1(X)Z^(X)-IH(X)}+.:.,

привлекая результат (7,4.13), который при рассматриваемых условиях имеет вид

[ W(T)Ck — a) ixx (a) da = о • .

= hx (X) +? B2r jaV (a) da + O (B3r).

Доказательство теоремы 9.4.3 получается, если применить рассуждения теоремы 9.2.4 и выражения, выписанные при доказательстве теоремы 9.4Л.

Доказательство теоремы 9.4.4. Собственные значения и собственные векторы матрицы являются непрерывными функциями ее элементов. Следовательно, наша теорема вытекает из теорем 7.3.3 и Д5.1.

К главе 10

Доказательство теоремы 10.2.1. Пусть A = CB. Перепишем. (10.2.5):

[(іу— її — Aiix]T Г-1 [iiy—її — AiIx]

+ tr {Г-* (Sn,- AZXY-ZYXA* + А2ХХА*)}

>tr }Г-і (S„-S„SxlxSjry)}

+ tr {Г-*/* (2„ - А2„) (Z7x-А2ХХ) Г-»/»}.

Согласно теореме 3.7.4, это выражение минимально, если Г-1/»А2# = S V/V/r-i/^„ZiVe

ИЛИ

Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed