Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство теоремы 8.10.1. Необходимо выяснить асимптотическое поведение
^«,В^-А^р^1,
P = O1 Pr_i. Мы знаем, что
vec S, = [I ® (B-1H vecар-[(A^B-1) ® (B"1)-] vec рг
Вначале отметим, что E vec ?^ = 0. Далее получаем из упр. 7.10.41 (учитывая, что РТВТ^1 и W(a) = 0 при |а|>я):
cov
= [л \К- К\ Ua2 fblit (- я,)+ц {кр+у faibt (Я,)
TjU^1(V -V -%9) + о{в-тгт->) + о{втт-і).
Тем самым ковариационная матрица величины
"vece
ар\ PJ
vecr/,
состоит из двух частей: одна содержит только спектры второго порядка, а другая— только спектры четвертого порядка.
Изучение А(л (X) позволяет нам сказать, что асимптотически вклад члена со спектрами второго порядка в cov {vec ?^, vecgj равен
ЇІ [fee (K)® fxx (КГ1] Br1T-^n J W (af da.
Условимся обозначать выражение в cov {vecр„ vec |L}, содержащее спектры четвертого порядка, как (2я/Г) \1р0. Поскольку в модели Y (Z) = |ш +Sa(/ — u)X(u)+e(t) ряд е(/) не зависит от X(Z), соответствующие члены в cov {vec сся, vec и cov {vec apf vecaq\ будут
Y- [А (К) ® О V* и Ц- [А (*,,) ® I] VM [A (Л,) ® I].
Следовательно, их вклад в cov {vec t,p, vec равен
2л
•ТЧ[І ® (Bp1)^ [A ® І] У,, [A(X,)'® I][I® (В"1)]
- [І ® (ЧГ] [А (А,,) ® I] [(W)T® (В?)]
- [(А,® Bp1) ®(В-1)-] V„ [A(V® І]?® (В,-1)] + [(А,® В"1)® (В-1)'] Г(АД-Х)Т® (В-1)]} ~ 0,
так как A (V ~ A^ Bp1.
Из всех этих соображений заключаем, что cov {vec $р, vec - л {*,-Л} Рее (К) ® hx (V"1]
X Вт 1 Г-^я J W (a)*da + О (S7T"1) + О (Bj2T-*) ,
поэтому
cov 2 ехр {iXp и} vec ?я P?12 ехр \ilqv} vec j
= P?2 2 [fee (V ® fK (V_1] ЄХР (Ы-У)}
X Br1T-^n 5 1^(^2^ + 0(5^^) + 0(5?2^-2).
На основании упр. 7.10.42 теперь можно заключить, что
Pr1^eXP {fop**}vec S/? асимптотически нормален. Сводя все эти рассуждения воедино, получаем нужный результат.
Доказательство теоремы 8.10.2. Подставив
с^ = ц+ас^ + с{Г>, с(Л (0) = T |[Y [X W-C^r= ас» (0) + ей? (0),
получим
ц™-ц=(л-а™)с$>+с?>,
а(Г'-а =42(0)^(0)-1, (*)
тем самым
VT vec {а«г>-а} = Il ®с$ (О)-1] Vf vec с$ (0).
Согласно упр. 7.10.36, величина сех (0) асимптотически нормальна со средним 0 и
cov {cZlxh (0), c{Ja\xb2 (0)} ~2я T-i S Ua1M2 (a) fXb1Xb2 (—a)da; поэтому
cov {vecc$ (0), vec eg? (0)} ~ 2jiT-* $ fее (а) ® fxx (-а) da.
Отсюда последует указанное асимптотическое распределение для veca(T), так как с(/х(0)-* сходится по вероятности к схх(О)""1.
^Поскольку EX(^) = O, ^p=Op(I) и имеет место (*), то У T (\кт— Vi) = VTc^+ ор(\)9 так что приведенное предельное распределение jm(n вытекает из теоремы 4.4.1. Асимптотическая независимость а(Г) и |ш(Л следует из асимптотической независимости с?Г) и сіх (0)-Далее
е (O = Y(O-|ш(Г)—а<лХ (0 = Ii - fa(r) — (а-а(Г))Х(0+е (О = (а-а<л) (X (0-с^) + е(0-се7).
Следовательно,
«J> (Я) = (а - а<г>) f& (Я) (а-а™)* + (а-а<^>) fjg (Я)
. +1Й?(Л)(а-а^) + !©(Л);
Последнее выражение с учетом ранее установленной асимптотики распределений i(xx(X), t$i(K) дает
(ВГТ)1/2 «ї> (Я) = (B1T)*/» fg> (Я) + о, (1),
т.е. указанное в теореме предельное распределение для f?P(A). Доказательству теоремы 8.11.1 предпошлем лемму.
Лемма Д8.2. Пусть Хт, T=I, 2, ...,— последовательность случайных векторов, Ji—постоянный вектор и аТ9 T = 1, 2, ...,— последовательность чисел, сходящаяся к нулю. Предположим, что с вероятностью 1
Hm |ХГ—fi|/ar^l.
Пусть f(x) имеет непрерывную производную в окрестности jyi и If(Iu1)I=^O. Тогда
ЇЇЇІЇ |f(Xr)-f(|i)|/ar<|f'(n)| с вероятностью 1.
Доказательство. С вероятностью 1 вектор Хг при больших T попадет в упомянутую в теореме окрестность (л-. Будем считать, что он попал в эту окрестность. Так как f(x) имеет первую производную, то
f(Xr) = f(p) + ar<Xr--|i, f'(E)>
при некотором g из окрестности її. Непрерывность f (х) означает, что V (?) при T —* оо стремится к F (р,), и тем самым утверждение доказано.
Доказательство теоремы 8.11.1. Теорема является следствием леммы Д.8.2, теоремы 7.7.3 и теоремы 7.4.2.
К главе 9
Доказательство теоремы 9.2.1. Оно проводится точно так же, как приведенное ниже доказательство теоремы 9.2.3.
Доказательство теоремы 9.2.2. См. аналогичное доказательство теоремы 9.2.4.
Доказательство теоремы 9.2.3. Покажем, что /-е собственное значение матрицы (9.2.17) не меньше чем \*>j+0, причем равенство достигается при указанном в теореме выборе jut, В, С.
По теореме 8.2.4
E {(X — її - CBX) (X—її—СВХ)Т}
>2и-2нВ*С* (СВ2„В*С*)-* СВ2ХХ > 2„ - D,
где
D = 2етВтСт (СВ2^ВТСХ)-* CBS^x. Ранг матрицы D не превосходит q. Далее
„ /у т— сип ^Т (?—°)a Iх/ (?? ~и)— SUP-=?-1
La=O a a
где L—матрица размера (і —1)х г. Последнее выражение больше или равно
. ИР ЛI S1^P Л"~^Г-^Vq+iK^Xx)*
La=Da = O a —a La=Da=O a a
так как ранг матрицы | ^j не превосходит q + i — 1. Легко проверить, что при указанных jut, В, С получается матрица (9.2,17), имеющая вид (9.2.21). Поскольку /-е собственное значение (9.2.21) равно h знак равенства в предыдущем соотношении получается именно при указанном выборе.