Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Остается показать независимость а и S88. Пользуясь отмеченной ранее условной независимостью, можно для плотностей распределений написать соотношение
p(a,5rS88|x) = /7(a|x)p(See).
Отсюда вытекает, что
р (a, S88, X) = P (a, x)p(S88),
и доказательство завершено.
Доказательство теоремы 8.3.1. Пусть А (к) — передаточная функция фильтра {а (и)}. Мы увидим, что она корректно опреде-
лена. Выражение (8.3.2) можно записать в виде fA—( 2 а (и)) с*] [су-»*— ^2 a (^cxJ + I [tyy (0O -f ух (0Ofхх И ~г W H] Ж*
+ J [А (а) f(а)-fra (а)]f„ (а)- »[A(a)f„(a)-f„(a)Pda
> S [f (а) — (а) 'и H"1 fxr (<*)] <*а>
причем равенство достигается при выборе, указанном формулами (8.3.3) и (8.3.5).
Поскольку fxx(А) невырожденна, —оо<А<оо, то из теоремы 3.8.3 следует, что A(A), определенная формулой (8.3.5), является преобразованием Фурье абсолютно суммируемой функции.
Доказательство теоремы 8.3.2. Мы видели, что можно записать Y (0 = |1 + 2а(t-u) X(и) +Bit),
и
где Ee(^) = O, cov {X (t + и), г (t)} = 0 при всех и. Поскольку ряды совместно нормальны, из равенства нулю этой ковариации следует независимость X {і+ и) и e(t) при всех и. Поэтому
E{e(/)|X(i>), 0 = 0, ±1, ...} = Ев(/) = 0, Y(O-E {Y (0 IX(V)1 V = O9 ±1, ...} = 8(0,
т. е. получаются соотношения (8.3.21) и (8.3.22).
Доказательство теоремы 8.5.1 следует из теоремы 7.3.3 и теоремы Д5.1.
Доказательство теоремы 8.6.L При сформулированных предположениях из теоремы 7.4.1 вытекает
Ef & (A) = $ (A-a) ixx (a) da+ О (Bf1T'1),
Ef^ (A) ^ $ Я7«"> (A—a) fXK(a) da+О (Bf1T-*),
Ef^ (А) = J «7(Г> (A-a) fYy(a) da + О (Bj1T-I).
Каждая из статистик А(Г), ф}[\ Gj?, RyjY^x, \Ryx\* является
дифференцируемой функцией от f$c(A), fj$(A,), f(/y(A,). Приведенные в теореме выражения выводятся теперь из теоремы статьи Brillinger, Tukey (1964).
Доказательство следствия 8.6.1 следует непосредственно из выражений (8.6.11)-(8.6.15) с учетом теоремы, сформулированной в упр. 1.7.4.
Доказательство теоремы 8.7.L Воспользовавшись тем, что А(Г)(Я), 8$ ДО. Я(Г)(Я), I Rm (Я) I2—дифференцируемые функции элементов матриц fxx (Я), f(/x(^), fyl (Я), можно записать разложения типа разложения по теории возмущений:
А<г> (Я) = A (X) + { f $ (Я) - f „ (X)} fxx (Я)
-A (X) {fSSt (Я) -f„ (Я)} f„ (Я)-» + ... .
Используя их в сочетании с теоремой 7.4.3, можно вывести указанные асимптотические ковариации. Фактически же гораздо удобнее определить асимптотику ковариации, воспользовавшись результатами § 8.2.
Начнем с того, что, согласно следствию 7.4.3, ковариации величин с частотами Я, р имеют порядок 0(S^1T"1), если Я±р^ їй 0 (mod 2я). Допустим, что Я — ps=0(mod2n) и Я 0 (mod 2я). Тогда легко видеть, что асимптотически структура ковариации для
рхх (Я) fj#(*,)l Uyx (Я) fW WJ
та же самая, что для
*ХХ M *XY W 1YX
(X) і„(к)я где
n-Wcr+s
("• С:
(*)
ВТТ
Yl =
2л (a)2 da
Поэтому с точностью до первого порядка асимптотика ковариации, полученная с помощью разложений по теории возмущений, окажется совпадающей с ковариациями, построенными по величине (*). Тогда теорема 8.2.5 позволяет заключить, что в данном случае .
сот {vec А<г> (Я), vec А<г> (Я)} ~ л-1 fee (Я) ® fxx (Я)-*, а из теоремы 7.4.3 выводим, что
сот вф«(Л)}-п-7е/Є|(Я)/в^(-Л).
В случае когда Я + р = 0 (mod 2я) и Я# 0 (mod 2я), можно заметить, что
cov{vecA<r)(ty, vec A(n (— Л)}
= cov{vecA<r>(X), vecA(r) (Щ = 0(11-1),
поскольку предельное распределение, указанное в теореме 8.2.5, является комплексным нормальным. Кроме того,
{*% (Я), g™a - я-1^ (Я) /вЛ (-Я).
В случае Я, p = 0(mod2jt) статистики принимают действительные значения, так что следует применить теорему 8.2.3. Мы получим
^Ot {vec А<Г) (0), vec А(Г> (0)}^л-Чее (O)Of^(O)-1, {4^(0), *^(0)}~л-1{^
Тем самым полностью обоснованы формулы (8.7.1) и (8.7.2). Выражения (8.7.3) и (8.7.4) следуют из теорем 8.2.5 и 7.6.2.
Доказательство теоремы 8.8.1 вытекает из замечания, сделанного в начале доказательства теоремы 8.7.1 и из теорем 7.4.4 и Д5.2.
Асимптотическая независимость А(Г) и будет следствием обращения в нуль их асимптотической ковариации, вытекающего из теоремы 8.2.5.
Перед доказательством теоремы 8.10.1 удобно ввести ряд обозначений. Если кр = 2лр/РТ, р = 0у Рт-ц определим
Ар = EtVk (Я,), A, +a,= t& (*•,)¦ В, = Ef^ (kp), Ър + р, = f(Я,).
Теперь можно сформулировать лемму.
Лемма Д8.1. Пусть выполнены условия теоремы 8.10.1. Тогда
&т (и) = 12 A^Bp1 ехр {ІЯ^} + Я?12«А"1 ехР {'W р P
- Я?1S А^В-^В-1 ехр + 0р (Р6ТВт 1T-*)
при любом б > 0.
Доказательство. Рассмотрим тождество (А+ а) (В + р)-1—АВ-1-аВ~1 +AB-1PB"1
= (AB-1PB-1P-CtB-1P) (В + р)"1.
Норма правой части ограничена, величиной
|P||B-4(|A||B-MIP| + |«|)|(B-Y)-l|.
если —Y^P при 7^0. По теореме 7.7.5
sup I ар |, sup IP771 = ор {PWt 1/2 T~ р P
для любого е > 0. Следовательно,
^ I11 В^Ч <l 11 Ч I I +1 I) j¦ ( — sup Э^) "1J р
что равняется ор (Pf-Bf 172T"1/2) равномерно по р. Отсюда и вытекает утверждение леммы.