Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Р[|Лга1я< j] = i-O-*)11-1 2 (, W(i-*)-'
J=O \ s /
при 0 < х < 1; см. Abramowitz, Stegun (1964, стр. 944). Если г=1, отсюда вытекает простое выражение для 100а-процентной точки \Ryx\2:x=s = 1-(1—а)1""-".
8.16.23. Покажите, что множественная когерентность длярядаУ(/) с действительными значениями и векторного ряда X (/) не изменится при невырожденной линейной фильтрации каждого из рядов по отдельности.
8.16.24. Получите следующие разложения по степеням малых параметров а, р, у, є:
; (а + а)~ а ^ а\Ь a f^' —
b) arg{e+e} = arge+-L|^--у }+••••
c) log|e+e| = log |c|+-i{-i+^}+...-,
d) (fe + P) Ь . Ь I р а у),
[(a + a)(c + v)]'/2 [ас]1/« [ас]1/М 6 2а 2c/"r'*,»
с) Ife + PI2 _ IM1 і IM' I P ¦ P « V \ і ' (а + а)(с + у) ас ас \ & ? а с/"1-"*'
f) (С+Ї)_ІШІІ=С _ IAIl+J7 + ЛИ fl+I-«) I+... .
r/ (a + a) a 1 | ' 1 a \b 1 0 a J f 1
8.16.25. Пусть временной ряд [X(Z), F(Z)], составленный из двух рядов, удовлетворяет условию 2.6.2 (3) и пусть для W (Ь) выполнены условия 5.6.1 и (5.8.21) при JP = 3. Если выполнены остальные условия теоремы 8.6.1, то
EAW (K) = A + WJx1x [fyx-Afxx] Вт/2
+ 0(B3T) + 0(Bf1T-1)i Ёф(Т) (К) = ф + W2 Im {f"Yх fvx) Вт 12
+ 0(Bt) +О (Bf1T-i),
EGW (X) = G+ W2 Re {fYx [fYX-Afxx]} Вт/2 + 0 (В3т) + 0(В^Т-1),
ERiPx(X) = RYX+W2fxx2 fyY'2 [/yx
- у fXX fyx ҐХХ-Y f YYf YXfYY^ В\/2 + О (Вт) + О (Bf1T^),
где f" обозначает вторую производную /.
8.16.26. Докажите, что
a) (А®В)Т = АТ®ВТ,
b) (А0В)-1 = A-^g)B-1,
c) (A1(S)B1) (А2®В2) = (A1A8)O(B1B1),
d) (А®В) vec X = vec (AXBT);
размеры матриц должны быть правильно выбраны.
8.16.27. Для матрицы, появляющейся в тексте сразу после формулы (8.2.18), докажите, что
O^^yl/^yx^x^XY^YY2 ^1'
8.16.28. При условиях теоремы 8.2.1 проверьте, что для ошибки (8.2.19) выполнено
a) Ee = O,
b) Егг% = 1>уу—2,ухЪх1хЪхУ>
c) ЕеХт = 0.
8.16.29. Проверьте, что частная корреляция F1 с F2 после удаления линейного воздействия со стороны X не выражается через какие-либо ковариации, связанные с Y/, j > 2.
8.16.30. Докажите, что при а, определенной формулой (8.2.15), достигает максимума квадрат векторного коэффициента корреляции
_[Pet cov{Y, аХ}]2_
[Det cov{Y, Y}] [Det cov (аХ, аХ}] "
8.16.31. Найдите fi и а, которые при выполнении условий теоремы 8.2.1 минимизируют
E {[Y-1*—аХ] Г [Y-|m-aX]T},
где Г есть sXs-матркца, Г^о.
8.16.32. Пусть X(O» / = 0, ±1, .... есть /--мерный векторный процесс авторегрессии порядка т. Докажите, что частная ковариационная функция
2X (0), X (U)-X(I)...X (и-\)
обращается в 0 при и > т.
8.16.33. При условиях теоремы 8.3.1 докажите, что существуют jm, абсолютно суммируемый фильтр {а (и)} и стационарный второго порядка ряд 8 (/), ортогональный X (t), обладающий абсолютно суммируемой автоковариационной функцией, такие, что
Y(0 = H-2a(*-tt)X(tt) + e(f).
и
8.16.34. Пусть ряд в теореме 8.3.1 является m-зависимым процессом, т.е. значения процесса, отстоящие друг от друга более чем на т единиц времени, независимы. Покажите, что а(и) = 0 при | и | > т.
8.16.35. При условиях теоремы 8.3.1 докажите, что \RY у .^(Х)|2^1.
CL Ь
Если s=l, докажите, что | Якх M I2
8.16.36. При s=l докажите, что
IW)|2=,-^w--
8.16.37. Покажите, что матрица, обратная к матрице (8.2.47) частных ковариации, будет s^s-блоком под диагональю матрицы, обратной к ковариационной матрице (8.2.37).
8.16.38. Найдите при S=I когерентность между Y (t) и наилучшим линейным прогнозом, основанным на X (/), ^ = 0, ± 1, ... .
8.16.39. Докажите, что
1-І Ryx M I2 = ПН *yxi"(*) I2I[I-I RyX2-X1 (Я) |»j •[1-1^.^...^^(^)12]-
8.16.40. Пусть ркх(0)2 обозначает квадрат мгновенной множественной корреляции Y (t) с X (і). Покажите, что
\\*ГХ<М \2fYY(^)d%
Pyx (О)2 < -і-?-< max I Ryx (X) |».
\fyy(K)d\ *
8.16.41. При условиях теоремы 8.3.2 докажите, что матрицей условной спектральной плотности для Y (t) при заданных Значениях. X (<). t=0, ± 1,..., будет
8.16.42. Предположим, что весовая функция W (а), применявшаяся при построении оценки (8.6.4), неотрицательна. Покажите, что | Яу\ .х(^)12<'>
8.16.43. Пусть выполнены условия теоремы 8.5.1, и пусть / 'M =
YaXb'Xb
— 0. Проверьте, что асимптотическим распределением Ф$ (К) является равномерное распределение на (—.я, я).
8.16. Упражнения
361
8.16.44. Пусть выполнены условия теоремы 8.3.1. Покажите, что комплексный коэффициент регрессии действительного ряда Yа (t) на ряд X (Z) совпадает с а-й* строкой комплексного коэффициента регрессии s-мерного ряда Y (Z) на ряд X(Z), а=1, ..., s. Выясните следствия этого результата.
8.16.45. При условиях теоремы 8.2.1* покажите, чтоа = 2^х^хх Доставляет максимум 2у> aXX(\Xf ax)'l^aXt Y.
8.16.46. Пусть матрица W распределена по закону (п, 2). Покажите, что vec W имеет ковариационную матрицу nl*®?!?.
8.16.47. а) Если W имеет распределение W'г(п, 2), то покажите, что
