Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Pf2' ? gg> (^)®«& (?)" Bf1T-Va j W (а)« da, (8.10.8) гдеё?у(Х) определена в (8.6.8). Если?(Г)(X) обозначаетVpx(X)"1, а
р = 0
то можно выписать такой приближенный 100(1—а)-процентный доверительный интервал для aJk(u):
а$ (и) + [Pf1Bf1T-1Tp 2л $ W (а)Ча}11гг (|)
<aJk(u) Л
^aP(U)-[Pf1Bf1T-1TjIVn \W(aYda}1/2z (f ). (8.10.10)
Если положить P7 = Bf1, то асимптотическая дисперсия будет порядка T-1.
Hannan (1967а) рассмотрел оценку а (и) в- случае, когда а (у)= 0 при достаточно больших V9 и для ряда ошибок 8 (Z), Z=O, ±1, ..являющегося линейным процессом. Wahba (1966, 1969) рассматривал гауссовский случай при фиксированном Р.
Представляют также интерес и оценки а (а), и = 0, ±1, с наименьшим квадратичным уклонением, полученные минимизацией суммы квадратов
Г~ІҐ tr(7Y (t)-ii- І а(и)Х(*-и)1
t=g \ { и=-р )
X |y(/) — |a- S а (и)Х (t — и)| ^ (8.10.11)
при некоторых р, 9^0. К изучению этих оценок приходим, рассматривая модель
Y (0 = (А + аХ (0 +е (Z), (8.10.12)
Z = 0, ±1, ... . Здесь мы предполагаем, что |и — неизвестный s-мерный вектор; а —неизвестная sxr-матрица; X(Z), Z = O, ± 1, . • ., — наблюдаемый стационарный r-мерный векторный ряд, a e(Z), Z = 0, ±1, ..., — ненаблюдаемый стационарный s-мерный ряд ошибок, имеющий матрицу спектральной плотности I88(X), — оо < Х< оо и Es(Z) = O. Ряд Y(Z), Z = O, ±1, предполагается наблюдаемым. Если в нашем распоряжении имеется отрезок значений
Iy(Z) ' ' = °' 7^1' (8.10.13)
то возникает задача оценить (л, а и I88(X), — оо < Х< со. Рамки модели (8.10.12) шире, чем могло бы показаться на первый взгляд. Например, возьмем модель
q
Y(Z) = Im+ 2 а (а) Ц(Z-и) + 8 (Z), (8.10.14)
-р
где Z = O, ±1, ... и 3t (Z) —это стационарный r'-мерный векторный ряд, а ряд 8(Z) независимый от него и стационарный. Можно придать этой модели форму (8.10.12), полагая по определению
а = [а (— р)...a (q)]
(8.10.15)
X(O = , (8.Ї0.16)
-Я (Л-.7)-
t = 0, ± 1, ... . Введенные матрицы имеют размеры sX г' (р + q — 1) и г' (р + q — 1) х 1 соответственно. Частным случаем модели (8.10.14) является схема авторегрессии -
3t(t) = &(l)Z(t-l) + ....+a(q)3t(t-q)+e(t), •(8.10.17)
в которой ?(/), t = 0y ±1, ..., является процессом белого шума с нулевым средним. Поэтому приведенные ниже результаты можно использовать для получения оценок и их асимптотических свойств для моделей (8.10.14) и (8.10.17).
Располагая набором значений (8.10.13), получаем оценки |л(л, а(Г) величин (Li и а, имеющие наименьшее квадратичное уклонение:
с</> = |Л<п + а<г)с<г> ' (8.10.18)
и
сЙ(0) = ЛЙ(0). (8.10.19)
В качестве оценки fee (X) можно рассмотреть
T-I
g?(*)=TrS №т(Ъ-Щц?(Щ,' (8.10.20)
где е(/) является остатком, определяемым формулой
e(0 = Y(0-|i(n-a(r>X(0, *=0,±1, . (8.10.21)
Для этих оценок справедлива
Теорема 8,10.2. Пусть s-мерный векторный ряд Y(Z), t = 0, ±U представим в виде (8.10.12), где r-мерный ряд X(tf), t=0, ±1, удовлетворяющий условию 2.6.1, имеет
астоковариационную функцию схх(и)у и = 0, ±1, матрицу спектральной плотности fxx(X)9 — оо < X < оо, и где e(t)> / —0, ±1, — независимый с \(t) s-мерный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1, с матрицей спектральной плотности fee (M = [fab (М]*> Vі и ь —матрицы размера 5x1 и sxr. Пусть IX^ и г>Т) определены согласно (8.10.18) и (8.10.19), a ftp (M = = tfaV (Щ задается формулой (8.10.20), где W (а), — оо <а< оо,— удовлетворяет условию 5.6.1 и B1T —>оо при Т—+оо. Тогда jm(n распределена асимптотически как Ns(ix, Т~12лїее (0)); величина veca(7) асимптотически независима и распределена как
Nrs (vec a, 2JtT-1 J fee (а) ® [с„ (0)-*1„ (а)схх (О)-1}^). Кроме того, асимптотически независима и нормально распреде-
лена с
Egg> (X) = [ Г (а) |м (Х—ВТа) da +О (Bx) + О (Bf1T'1) (8.10.22)
lim. BrTcOV^1(X1). «&(*.)} =
. = [2я J W (a)* da] [ц {X1 - XJ /вЛ (X1) /Мя (_ X1) + l{UyUWfMJ-M] яра -со<Х1,Х2<оо. (8.10.23)
Асимптотическое распределение для (X) оказывается тем Же самым, что для f^ (X),'введенной непосредственно по ряду ошибок s(Z), Z = O, ±1, .... В случае модели (8.10.14) предельные распределения будут вовлекать параметры
(0)-
(0)
"2*
(P+ 9)
(8.10.24)
exp{tX} |ї3? (X)
Lexp{tX(p + 9)}f з, (X)
ехр {—ttyfjj (X).. Л
(8.10.25)
Если 8(Z), Z = O, ±1, .•., является белым шумом с матрицей спектральной плотности f88 (X) = (2л)-12, —оо<Х<оо, то теорема 8.10.2 показывает, что vec[a(r>(—р), а(Г) (q)] будет асимптотически нормальным со средним vec[a(—р), a(q)] и ковариационной матрицей Г"*12(g)схх (О)"1. Отсюда получается асимптотическое распределение для оценок параметров в схеме авторегрессии, имеющих наименьшее квадратичное уклонение. В § 6.12 мы рассмотрели соответствующие результаты для фиксированного ряда X(Z). Можно было бы рассмотреть здесь и аналог „наилучшей" линейной оценки (6.12.11).
8.11. Оценки отклонений, имеющие место с вероятностью 1
В § 7.7 мы изучили отклонение спектральной оценки от ее математического ожидания при Т —*оо. Этот результат можно применить при выводе ограничений для отклонения А{Т) (X) от {EVyx(X)WEPxX(X)}-1. Можно также найти границу отклонения А(Г) (X) от A (X) и оценить отклонение других введенных ранее статистик от соответствующих оцениваемых параметров. Точнее справедлива