Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
{(2m +1) [A^ (X)-AJM] (M [Ab" (M -Ae (X)]V2r}//<^ (M
(8.9.2)
распределением F2n 2 (2т+\ -г) в случае Х=? 0 (mod л). В упр. 6.4.17 указывается способ построения приближенных совместных доверительных областей для всех линейных комбинаций элементов из Аа(Х). Тем самым мы приходим к 100|3-процентной доверительной области вида
I А<? (X) - Aab (X) |» < 2F2n у(2« +1 — г) (P) (2т + 1) ?и (Я) g<л ' (X),
а а
(8.9.3)
6 = 1, г, если X=zi= 0 (mod л). Ее можно преобразовать в совместную доверительную область для фаЬ (X)1 log Gab (X),b=\, ..., г, по методу упр. 6.9.11.
Рассматривая f8€(X), можно заметить, что параметры feaeb(X)> l^a^6<s, алгебраически эквивалентны параметрам /єяеЛМ» а=1, s; /?у уь-х(М» l<a<6<s, для которых мы и укажем доверительные интервалы.
Теорема 8.5.1 предлагает взять в качестве приближения к распределению g<?> (X)/f?aEa (X) при X^O (mod л) распределение %2<2m+i-r)/{2 (2т+1 —г)}, а при X = 0(mod л) — распределение
llm-rl{%m — Г}- ДоВерИТеЛЬНЬїе ИНТЄрВаЛЬІ ДЛЯ f BaBaW МОЖНО
построить с помощью этих приближений по аналогии с выражением (5.7.5).
О .05 .1. .2 .3 .4 .5 .6 .7 ,8 .9 1.0
Рис. 8.9.1. 80-процентные доверительные интервалы для когерентностей. Индексы у кривых соответствуют числу усредненных периодограмм.
В случае одного RYaYb-x(k) рассмотрим, ориентируясь на теорему 8.8.1, 100(1—а)-процентный доверительный интервал:
arth I R(J)^x (X) I + ([1 + т) {2X}] Bf1T-ViI j W (ос)2 da)1* z (f) < arth I RYyb.x (X) I < arth | R^Y .x (X) | - ([1 + я {2X}] Bf1T-Vn
a ° a b
X^W (afdaf^z (-J) . (8.9.4)
Можно было бы в качестве альтернативы найти распределение комплексного аналога коэффициента корреляции при уменьшенном на г объеме выборки, воспользовавшись таблицами Amos, Koopmans (1962), или построить с помощью этих таблиц кривые рис. 8.9.1 и 8.9.2.
В случае множественной когерентности можно рассмотреть
.05 Л .2 .3 ,4 .5 .6 J .8 .9 1.0
Рис. 8.9.2. 90^процентные доверительные интервалы для когерептностей. Индексы у кривых соответствуют числу усредненных периодограмм.
приближенный 100 (1 —а)-процентный доверительный интервал:
arth I Rift (Я) I + ([1 + т) {2Ц] Bf1T-Vn J W (a)* da)1/2 z (f)
<arth|flKX(A,)|
< arth I RTx WI- ([1 + Л {2MJ Bf1T-Vn J W {af da)11" z (f) .
(8.9.5)
Имеется и другая возможность — обратиться .к таблицам Alexander, Vok (1963).
Доверительные области, типа рассмотренных выше, определялись в работах Goodman (1965), Enochson, Goodman (1965), Akaike (1965), Groves/ Hannan (1968). Если \RYX(X)\2 = 0, ХфО (mod Jt), то приближенная ЮОа-процентная точка |R^x (A)-JS задается элементарным выражением 1—(1—а)1/2™; см. упр. 8.16.22.
8.10. Оценки коэффициентов фильтра
Допустим, что (г + 5)-мерный ряд (8.1.1) удовлетворяет соотношению
Y (/) - i* + S a (t—и) X (и) + е (0, (8.10.1)
и
/ = 0, ±1, в котором 8(/), t = 0, ±1, —стационарный ряд, не зависящий от X(O- В соответствии с теоремой 8.3.1 рассмотрим зависящие от времени коэффициенты
а (и) = (2л)-1 J А (а) ехр {iua) da, (8.10.2)
где A(X) = I^(X)Ih(X)-1.
Пусть А(Г)(Х)— рассматривавшаяся в этой главе оценка A(X). Для оценки ъ(и) можно использовать статистику
3,W(U) = Pf1 2 Am (2np/PT)exp{i2npu/PT\, (8.10.3)
где рт—последовательность целых чисел, стремящаяся при T—>oo к оо.
Можно было бы предположить, что распределение а(Г) (и) центрировано вблизи
р/%{Е№ (2пр/рт)}^ {EiTx (2пр/рт)\ехр {І2пр/рт\. (8.10.4)
P=O
Обсуждение результата теоремы 7.4.2 показывает, что распределение э1Ъ сосредоточено вблизи рт-і
Pf1 2 A(2np/PT)exp{i2npu/PT\, (8.10.5)
P=O
если параметры fYX(a)> $хх(а) мало меняются на промежутках длины 0(ВГ). Выражение (8.10.5) можно переписать в виде
а (и)+ 2 *(u + kPT), (8.10.6)
тогда оно будет близко к интересующему нас а (и), если коэффициенты фильтра достаточно быстро убывают к 0. Это замечание наводит на мысль, что в данном случае особенно полезной должна оказаться предварительная фильтрация.
Занявшись затем вторыми моментами, можно ожидать на основании (8.7.1), что
cov {veca(T)(i/), vecam(i>)} рт-\
~Р? 2 Ігг(2лР/Рт)®іхх(2пр/Рт)-* P=O
X ехр {i2np (u—v)/PT\ BflT-x2n j W(a)4a ~ Pf1Bf1T-1 j W(a)4a
xS f ее (a) ®fxx (a)-1ZXp[Ia(U —v)\ da, (8.10.7) о
при условии, что Рт не слишком велико. В действительности справедлива
Теорема 8.10.1. Пусть (г + s)-мерный ряд (8.1.1) удовлетворяет (8.10.1), причем для независимых рядов X(t), e(t) выполнено ус-ловие 2.6.2 (1). Предположим еще, что fxx(k) невырожденна и имеет ограниченную, вторую производную. Пусть W (а) удовлетворяет условию 6.4.1. Определим А(Л (Я) формулой (8.6.5) и а.{Т)(и) формулой (8.10.3), и^=0, ±1, ... . Если РТ—+<х> и PTBT^l, P1T+eBf1T~1 —>0 при некотором г > 0, то величины ат (^i), • • •, а(Л (Uj) асимптотически совместно нормальны, имеют средние (8.10.4) и ковариации (8.10.7).
Заметим, что в первом порядке асимптотическая ковариационная матрица для veca(7)(a) не зависит от и. Можно было бы оценить ее величиной рт-\