Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
аг«1|*|ЛYh.x(X)\. (8.7.17)
а о
Характер этого преобразования иллюстрирует табл. 8.7.1 и рис. 8.7.1. Видно, что значения \R\ вблизи О изменяются очень мало, в то время как вблизи 1 значения очень сильно возрас-
Таблица 8.7.1
Значения arthjc
X
arth х
.00
.0000
.05
.0500
.10
.1003
.15
.1511
.20
.2027
.25
.2554
.30
.3095
.35
.3654
.40
.4236
.45
.4847
.50
.5493
.55
.6184
.60
.6931
.65
.7753
.70
.8673
.75
.9730
.80
1.0986
.85
1.2562
.90
1.4722
.95
1.8318
1.00
СО
тают. Далее, Earth I *</>
= atth\RYaYb.x(m + 0(BT) + 0(BflT-^, (8.7.18) cw {arth I #<Р (Я) |, arth | R<p fo) |}
a b оо
= h {X-+ г) {X + [x}] Bf1T-1Jt S W (a)*da+ O (Bf%T'2). (8.7.19)
В случае s=l частная когерентность совпадает с множественной когерентностью [R ух (Щ2у и ее оценкой служит оценка 1#ух(Х)|2. Тем самым выражения (8.7.18) и (8.7.19) будут верны также и для \ Ry7^(X)]2. Enochson, Goodman (1965) изучали воздействие этого преобразования и предложили такие приближен-
ные выражения:
E arth I Rpx (X) IJL arth | RYX (X) | + , (8.7.20)
D arth I RYxm±2(n^r_iy (8.7.21)
если г>1, X#0(modn), где
2я J (a)2 da 2я ^ № (a)2 da
(8.7.22)
Если привлекаются оценки из § 8.5, то надо взять п = 2т+\.
Parzen (1967а—с) нашел асимптотическое среднее и дисперсию для Л<р(Я), log G^(A,) и (X) при S=I. Jenkins, Watt (1968, стр. 484, 492) определили асимптотическую структуру ковариации А(Г) (X) и I R{PX (X) р. В случаях г = s = 1 Jenkins (1963а) получил асимптотические дисперсии фазы-, прироста и когерентности.
8.8. Асимптотическое распределение оценок
Укажем теперь предельные распределения для рассмотренных статистик. Начнем с такого утверждения.
Теорема 8.8.1. Пусть выполнены условия теоремы 8.6.1 и їхх(№1)) невырожденна при /=1, L. Тогда оценки А{Т)(Х{1)), UeV (Хш)> #(/V (Хш)> а> b=l, .:., s, асимптотически нормально
а Ь
распределены, и структура их асимптотических ковариации определяется формулами (8.7.1)-(8.7.3). Величины А(Г) (X) и get? (X) асимптотически независимы.
Эта теорема окажется полезной при построении доверительных областей. Пользуясь теоремой 8.8.1 и выражением (8.7.1), заключаем, что при Хщк 0 (mod п) вектор vecA(7)(X) асимптотически имеет распределение
Ncrs(vecEA^(X)y 2Г), (8.8.1)
причем
2r = Bf1T-^n J W (a)2 da (fee (X) (X) fxx (X)г*). (8.8.2)
Из упр. 4.8.2 следует, что отдельные элементы матрицы Ат (X) являются асимптотически комплексными нормальными величинами; такое предположение высказал Parzen (1967а—с). Теорема 8.8,1 имеет
Следствие 8.8.1. При выполнении условий теоремы 8.8.1 асимптотически нормальны те функции от А{Т)(Х), g$(k), RvK (M» дДЯ которых невырождены матрицы, составленные из
х а Ь
первых производных,
В частности, можно сделать вывод, что 1OgG^(M имеет асимптотически нормальное распределение с дисперсией
[1 + Ч {2M] [ I Ry Xh.x'h (M I"2-1] В?Т-Ъ f W (a)2 da. (8.8.3)
Величина ф<?} (X) асимптотически лормальна с дисперсией
[I-ц {2X}] [\RY Xh< (M Г -1] S?1 T1^n Г Г (a)2 da (8.8.4)
и 1OgG^p(Ji), ф$} (X) асимптотически независимы при a = 1, ..., s; ft=l, г. Величина avth\.х(М1 также асимптотически
нормальна с дисперсией
[1 +4{2X)]Bf1T-1U J W (a)2da, (8.8.5)
a, 6=1, .... s, и, если s=l, arth | /?? (M I асимптотически нормальна с той же дисперсией (8.8.5). Рассмотрение преобразований, стабилизирующих дисперсию [Kendall, Stuart (1968, стр. 93)], показывает, что распределение преобразованной величины может быть ближе к нормальному, чем до преобразования. Мы применим преобразованную величину при построении доверительных интервалов для когерентностей в следующем параграфе.
Отметим, что предельное распределение для А{Т)(Х), приведенное в теореме 8.8.1, согласуется с результатом теоремы 8.5.1 при больших т, если отождествить
2m+1==——I-= сВтТ-. (8.8.6)
2л \ (a)2 da 2л V W (а)2 da
Распределения других величин также согласуются, так как распределение Уишарта при большом числе степеней свободы близко к нормальному.
8.9. Доверительные области для предложенных оценок
Асимптотические распределения, рассмотренные в предыдущем параграфе, можно использовать при построении доверительных областей для изучаемых параметров. В этом параграфе мы пользуемся отождествлением (8.8.6).
Начнем с построения приближенной доверительной области для АаЬ(Х). Пусть X=== О(mod л). Выражение (8.5.11) приводит к тому, чтобы в качестве аппроксимации распределения величины
AgHK)-Aab (X) g
[(2«+l)-iger> (X)Y^)(X)]I/»
а а
взять распределение t$l2m+1-nu, здесь ЧГ(Г) (X) = f(/x (M""1- Это приближение может быть использовано, как и в § 6.9, для построения доверительной области либо для {T(eAab(X), lmAab(X)}, либо для {log Gab (X),- ФаЬ(Щ. При X = O (mod л) распределение (8.9.1) аппроксимируется t2{2m-r).
Если обозначить а-ю строку матриц А(Г) (X) и A (X) соответственно через А(аТ) (X), Аа (X), то доверительную область для Аа (X) можно получить, аппроксимируя распределение
