Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 100

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 163 >> Следующая


В каждом случае асимптотические средние различных статистик получаются нелинейными усреднениями параметров, представляющих интерес,. с матричными весами. Асимптотическое смещение поэтому будет зависеть от того, насколько близки к постоянным эти усредненные значения в окрестности Я. В пределе имеет место

Следствие 8.6.1. При выполнении условий теоремы 8.6.1

а при S— 1

Hm ЕА(7"> (Я) =
А (Я),
(8.6.16)

Hm Еф'р(Я) =
*«»(*¦).
(8.6.17)

Hm EG$ (Я) =
G06 (Я),
(8.6.18)

Hm Eg?> (Я) =
= gee (Я),
(8.6.19)

Hm ЕШ (Я) =
а о
(8.6.20)

Hm Е|Я$(*)|» =
7-> оо
I Ryx (Я) К
(8.6.21)

Указанные оценки являются асимптотически несмещенными, т. е.. несмещенными в расширенном понимании. Мы можем построить разложения асимптотических средних по степеням ВТУ см. упр. 8.16.25. Рассматривая такие выражения, можно сделать важное наблюдение: чем ближе к 0 производные спектров второго порядка генеральной совокупности, тем меньше асимптотическое смещение'. Nettheim (1966) получил разложение по степеням Bf1T"1 в гауссовском случае.

Оценки рассмотренных нами параметров изучали Goodman (1965), Akaike (1965), Wahba (1966), Parzen (1967а—с),

Jenkins, Watt (1968). Случай r = s=l рассматривали Goodman (1957), Tukey (1959а, b), Akaike, Yamanouchi (1962), Jenkins (1963а, b), Akaike (1964), Granger (1964) и Parzen (1964).

8.7. Асимптотические моменты второго порядка рассмотренных оценок

Займемся теперь некоторыми свойствами моментов второго порядка статистик, описанных в предыдущем параграфе.

Теорема 8.7.1. Если выполнены условия теоремы 8.6.1 ufxx(a)

невырожденна в окрестности X или \іу то

cov{vecA<7)(X), vecA(7)(jx)}

~ Ц {Я-(X} (f?? (Х)®ІХХ(Х)-*) Bt1T-* 2я J W (а)Чау (8.7.1)

~ [Ч{* - І*} 1агс W febed (- X) + г, {X + (л} Ua4 (X) /ел? (- X)]

xBf1T~12n\w (ос)2 doc, (8.7.2) сот ДО (X), Я</> W} - (7.6.16) (8.7.3)

р о с а

при а, 6, с, d= 1, ..., s, где Rn0^ Rvny0-x (X) для л, 0= 1, ..., s. Если s = 1, то

X|/?ra(X)|»[l—1«^x(X)I1PBr1T1-Mn J fl7(a)»da. . (8.7.4)

Для того чтобы рассмотреть различные аспекты этих результатов, выпишем соотношения, вытекающие из (8.7.1) и разложений по теории возмущений, приведенных в упр. 8.16.24, обозначив через Y(Я.) матрицу fxxW'1'-

сот{Л<[>(Я), ^(Ji)}

~n{%-p}fEaEb(X)VcdW Bf1T-^nIw(O.)*da, (8.7.5)

cw {log G<? (Я), log G?> - [ti {X-v\ + n {Я + ц.}]

X Re {Л^Я)-1/^ (Я) Тм (Я) 4ЛЯ)"1} Bf1T-1H, J Г (a)«dat (8.7.6)

сот {*<?> (Я), ф?> (ц)} - [t, {Я-ц} - ті {Я + ц}]

x Re {ЛаЬ (Я)-1 /Єоес (Я) ^!bd (X) A^jX)-1) Bf1T-1K, jj W (a)2da (8.7.7)

при a, с= 1, s; b, d^l, r.

Набор величин Xrf, d=l, г, из которого исключена Хь, обозначим Х'ъ. Тогда на основании упр. 8.16.37

T"(X)e7^^*n--ii?XiXi(i)i-]vbw: (8-7-8>

а также

Ua*a (Ц = ЇГаУа-х(Ц = [\-\ЯУаХ(Щ*\ЇУаУа&)> (8-7.9)

и поэтому

-* ^ Г [1—1/? V Y (Я) I2] /v V Л)

D^Jp(Я)- B^T-2njW (а)2^[1-|^^У)і']/^к) • (8-7-1°)

Что касается дисперсии, из формулы (8.7.10) ясно, что оценка AaP (X) будет наилучшей, если множественная Когерентность Y а (t) с X (t) близка к 1 и множественная когерентность Xb (t) с X1(O» Хь-і(0> Хь+і (0> близка к 0.

Обратившись к оценке прироста и фазы, сперва отметим соотношения

fy x x' {х)

A*M=jf^y (8'7Л1)

If у Х Х.0>)?

и

^УаУаХ;(^) = [1-|^Л.Х;^)|2]/^УаХ(Я). (8.7.13)

Из выражений (8.7.6)-(8.7.8), (8.7.11) и (8.7.13) выводим

D log G<J> (Я) - Вг1^-1" J (a)2 da

X[л {Я-+ T1 {Я+(i}] [| /?у_Хь.хі (Я) |~2— 1] (8.7.14)

D (Я) ~ Bt1T-1K J W (а)2 da

х[т|{Х-ц}-гі{* + и}][ІДу х ,(Я)|-2-1]. (8.7.15)

Таким образом, дисперсии величин log Gfy (X) и ф$ (X) малы, если частная когерентность Ya (t) с Xb (t) после удаления линейного влияния X1(Z), X^1(O, Xb+1(t), Xr(t) будет близка к 1. В случае г = S=I частная когерентность в выражениях (8.7.14) и (8.7.15) заменяется на когерентность \RYX(k)\*> Заметим, что если Я±|л^0(то(12я), то асимптотика ковариации логарифма прироста и фазы одинакова.

arth х

3. 2. 1.


T-
О 1.
-1.
-2. -3.

Рис. 8.7.1. График функции i/=arth xss—- Iff-pt^.

Рассматривая оценку матрицы спектральной плотности для ошибки, отметим, что, как показывают формулы (8.7.2) и (7.4.17), асимптотическое поведение (X) во втором порядке в точности такое же, как если бы эта оценка была прямой спектральной оценкой t$(X), основанной на значениях s(t), t = 0, ...9T—l.

Из (8.7.3) следует, что асимптотическое поведение оценок частных когерентностей совпадает с асимптотикой оценок коге-рентностей таких s-мерных векторных рядов, у которых KO-герентностями генеральных совокупностей являются частные когерентности RYaYb-x(X)y й, b=ly s. Взяв а = с, fc=d,

можно с помощью (8.7.3) заключить по аналогии со следствием 7.6.2, что

сот {| RpY х (X) |«, I RfpY (р) |«} ~ [г, {X-V} + т) {X + V}]

а о а о

XI M I2 П Ч * W* W № Вт1ГГ'Чп J W (a)2 da. (8.7.16)

Асимптотическая структура ковариации | Ry0Y^x (X) |2 оказывается одной и той же при всех значениях s, г. Изучение (8.7.16) наводит на мысль рассмотреть преобразование, стабилизирующее дисперсию
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed