Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Ортогональность собственных функций. Пусть іф'] и при этом Xi Ф Xjy тогда интеграл от произведения двух различных собственных функций должен обратиться в нуль:
Это условие называют условием ортогональности. Таким образом, собственные функции Ui (*) и Uj (*) ортогональны с весом W (х) на отрезке (а, Ь]. Уравнение (9.23) частично доказывает второе свойство эрмитовых операторов. Здесь также очевидна аналогия ортогональности матриц. В самом деле, можно установить полное соответствие между теорией дифференциальных уравнений Штурма — Лиувилля и аппаратом эрмитовых матриц. Исторически это соответствие сыграло важную роль в доказательстве математической эквивалентности матричной механики Гейзенберга и волновой механики Шредингера. Сейчас эти различные иод-ходы объединены в квантовой механике, а математический аппарат в каждом отдельном случае выбирают из соображений удобства. Действительно, рассмотренные методы еще не ограничили число возможных математических приемов. Интегральные уравнения (см. гл. 16) дают третий подход, который иногда оказывается более удобным или более плодотворным.
Проведенное доказательство ортогональности не является абсолютно полным. В нем содержится неопределенность. Действительно, хотя и выполнено условие І ф /, но тем не менее X1 — Xj. Такой случай называется вырожденным. Если Xi = Xjy интеграл в уравнении (9.21) может и не рав-
(9.23)
а 373 Г'л А В А 9. ТЕОРЙЯ ШТУРМА — ЛЙУВЙЛЛЯ
няться нулю. Это означает, что линейно независимые собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, не обязательно ортогональны, но в этом вырожденном случае и независимые линейные функции всегда можно сделать ортогональными. Один из методов ортогонализации разработан в следующем разделе.
Из содержания последующих глав станет ясным, что требование ортогональности данной системы функций так же естественно, как и требование иметь ортогональную систему координат. Конечно, можно иметь дело и с неортогональными функциями, но этим мы только усложним задачу.
Третье свойство полноты системы определим и обсудим в разд. 9.4. Формальное доказательство, основанное на вариационном исчислении (см. гл. 17), здесь не приводится *.
Ряд Фурье. Ортогональность. Рассмотрим уравнение
которое может описывать либо квантовомеханическую частицу в энергетической яме, либо колебания струны с собственными (вырожденными) функциями: cos nx, sin rix.
При п вещественном (здесь оно еще и целое) условие ортогональности записывается так:
хо+2я: xq+2 п
Интегрирование на отрезке 2л в первом и во втором случаях дает б-символ Кронекера, третий интеграл обращается в нуль, так как он содержит вырожденные собственные функции. Однако проверка убеждает нас, что этот интеграл равен нулю всегда при любых целых т и п.-
У W + п2У M = О,
* Более подробно см. Курант Р. и Гильберт Д. «Методы математической физики». Перев. с англ. М. — JT., Гостех-издат, 1951. o.2. эрмитовы (самосопряженныё) операторы 3?
Теория Штурма — Лиувилля ничего не говорит о величинах Cn и Dn. Прямое вычисление интегралов приводит к следующим значениям:
j л, пФ О, ( я, пФ О, 0, я=0; Da= I 2я, n = 0.
Условия ортогональности а) — в) имеют непосредственное отношение к рядам Фурье (см. гл. 14).
Разложение по ортогональным собственным функциям. Прямоугольная волна. Свойство полноты означает, что определенные классы функций (кусочно-непрерывных) можно представить рядами по ортогональным собственным функциям с любой требуемой степенью точности. Рассмотрим волну прямоугольной формы
{4, 0<х<я, и -
--— Я<Х<0.
Ряд по собственным функциям удобно записать в виде
OO
/ M -у" -f 2 (un cos пх-т bnS'm пх).
ті—і
Используя условия ортогональности а) —в) (см. выше), определим коэффициенты этого ряда
я я
j f{t) COsntdt1 — j f (^smntdt1
- Я "Я
п = 0, 1,2,...
Поскольку f(x) = ±h/2, имеем ап = 0, этого можно ожидать заранее вследствие свойств антисимметрии, кроме того,
h ( 0, /г —четное,
bn = — (I-Cosmx)^s 2h
ля 4 ' -, Al—нечетное.
V пп '
Следовательно, разложение f (л:) по собственным функциям
сю
/ ж \ r/\ 2А Xi sin (2n1)X
(в ряд Фурье) имеет вид: f (*)= — 2і 2п-{-1—'
п=0 374
Г'л А В А 9. ТЕОРЙЯ ШТУРМА — ЛЙУВЙЛЛЯ
Упражнения
1. Функции U1 (х) и «2 (х) —собственные функции одного и того же эрмитова оператора, соответствующие двум различным собственным значениям Xi и X2. Доказать, что Ui (х) и U2 (х) линейно независимы.
2. Оператор ? не принадлежит к типу самосопряженных, причем
ь
XUi-\-XiWUi = 0, Показать, что j VjXu[dx~
а
b
J
и і JZVjdx, если
Wj !І = 'Wi & Щ (Pi-Po) Vj |J = 0,
а условие ортогональности собственных функций и і, vi записывается ь
виде j UiVjWdx=0 (Ki=Z=Xj).
9.3. 0РТ0Г0НАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ (МЕТОД ШМИДТА)
С помощью этого метода из системы неортогональных линейно независимых функций * получают систему функций, ортогональных с некоторым весом внутри заданного интервала. Для удобства будем предполагать функции вещественными. Обобщение на комплексный случай не представляет особых трудностей.
