Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 98

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 185 >> Следующая

j v*Xudx^'^ uXv*dx. (9.16)

a

Оператор Xy подчиняющийся соотношению (9.16), называется эрмитовым по отношению к функциям U (л) и U(A1)1 которые удовлетворяют граничным условиям (9.11).

Пример 2. Выбор отрезка [а, Ь]. Оператор %d?Idx удовлетворяет уравнению

~^у(х) + п*у[х) = 0

с собственными функциями ип~cos/їх, Om = SinrnA:. Граничное условие (9.10) для данного случая: -/IsinmxsinnxjJ = O, или

т cos тх cos пх Ід — 0 (с заменой ип на %). Так как sin тх и cos их —

периодические функции с периодом 2л; (для целых п и т), уравнение (9.10) выполняется, если а = х0, а Ь = х$-\-2п.

Упражнения

1. Показать, что уравнения Лагерра, Эрмита и Чебышева (тип I) можно привести к самосопряженному виду, умножая их соответственно на е~х, е~*2, (1 ~х2)~"1/2. Убедиться, что ку(х) = е"~х, е-* ,

(1 —X2)-1 ^2-соответствующие весовые функции.

2. Показать, что самосопряженное уравнение

d2y , dy ti2y . 0 п X

----4-а2zt/^O, где г — — ,

dz2 ~ dz г 1 у ' а

можно получить из уравнения Бесселя. Определить весовую функ-

b

І dz '

Zm (z) Zn (z)—=

a

— О—условие ортогональности для решения уравнения Бесселя Zn. Функции Zn-ненормированные. Положить а=^0, 6 = сю 9.1. самосопряженiiып ДИФФПРІ- ИЦИЛЛЬПЫП УРАВНЕНИЯ 369

и использовать, условие w-f-n>0 {см. гл. И). Другой пример, в котором интегрирование ведется но промежутку |0, 1|, рассмотрен в разд. 11.1.

3. Доказать, что если линейное дифференциальное уравнение второго порядка выражено в самосопряженной форме, то:

а) определитель Вронского равен некоторой постоянной, деленной на коэффициент исходного уравнения W = C/p;

б) второе решение уравнения имеет вид

X

о

4. Дано дифференциальное уравне ше

Привести его к самосопряженному виду; убедиться, что преобразованием г— X2 оно сводится к уравнению Лагерра.

5. Полином Чебышева (тип II) JJn (х) удовлетворяет дифференциальному уравнению

(1 - X*) Wn (JC) -3xU'п (X) + п (п -I- 2) Un (X) 0.

Выделить особые точки этого уравнения, для чего рассмотреть всю плоскость изменения переменной, за исключением бесконечно удаленной' точки. Определить, какие из особенностей регулярны, а какие нерегулярны. Привести уравнение к самосопряженному виду; определить собственные значения; найти весовую функцию и условие ортогональности для Un (х) и Um (х) при пф т.

6. В частном случае, когда Х — 0 и q(x)= 0, самосопряженное уравнение сводится к уравнению

d Г* .du (х)~| .

7ь LpwTrJ=0'

которое удовлетворяется при du/dx = \/p (х). Воспользовавшись этим, получить вторые решения уравнений Лежандра (а), Лагерра (б) и Эрмита (в).

X

Ответ: а) U2 (х) = ~ In ; б) и2 (х)—и2 (х0) ^Je* ;

*0

X

в) U2 (х) sa ^ е*2 dt. Решения иллюстрируют расходимость, которая о

обычно характерна для второго решения.

7. Известно, что оператор % удовлетворяет условию «?и--0; g%u—самосопряженный. Показать, что для сопряженного оператора X справедливо %(gu) = 0,

24—12§7 370

ГЛАВА 9. ТЕОРИЯ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ

9.2. ЭРМИТОВЫ (САМОСОПРЯЖЕННЫЕ) ОПЕРАТОРЫ

Эрмитов, или самосопряженный, оператор характеризуется тремя свойствами, которые весьма существенны в классической и в квантовой физике: І) его собственные значения вещественны; 2) собственные функции — ортогональны; 3) собственные функции образуют полную систему *.

Докажем первые два из указанных свойств. Вещественность собственных значений. Пусть

Xul+ XlWui = 0, (9.17)

(a) Xiij -j- KjWUj = 0, (б) Xu] H- Xjwui = 0. (9.18)

Здесь X — вещественный оператор (р и q — вещественные функции х); W (х) — вещественная функция. Предположим, что собственные значения Xk и собственные функции Uh комплексные. Умножая (9.17) на «*, а (9.186) на Ui и складывая полученные результаты, имеем

и)Хщ - щХи) (X) - Xi) WitiUJ. (9.1 У)

Проинтегрируем последнее соотношение на отрезке а < х < fr : ь ь ъ

J ujxui dx-^ uiXti* dx = (X)- Xi) f utujwdx. (9.20)

a a a

В силу эрмитовости оператора X левая часть полученного уравнения обращается в нуль [см. уравнение (9.16)1, откуда

ь

(Xj-Xi) ^UiUjwdx = 0. (9.21)

а

При і = j интеграл не может равняться нулю (функция W (*) > 0, за исключением изолированных точек), если только мы не рассматриваем тривиальный случай Ui = 0. Следовательно,

Xf = Xu (9.22)

т. е. собственные значения вещественны. Под Xi понимается любое собственное значение, что и доказывает первое свой-

* Утверждение 3 не универсально. Оно не выполняется для линейных дифференциальных самосопряженных операторов второго порядка. O.2. ЙРМЙТОВЫ (САМОСОПРЯЖЕННЫЕ) ОПЕРАТОРЫ 371

ство, которое является точной аналогией свойства собственных значений вещественных симметричных (н эрмитовых) матриц (см. разд. 4.5).

Вещественность собственных значений эрмитовых операторов играет фундаментальную роль в квантовой механике. В квантовой механике собственные значения соответствуют точно измеряемым величинам, таким, как энергия и момент количества движения. Если сформулировать теорию с помощью эрмитовых операторов, то доказательство вещественности собственных значений гарантирует, что такая теория будет предсказывать вещественные числа для этих измеряемых физических величин.
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed