Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Собственные функции, собственные значения. Рассмотрим дифференциальное уравнение в форме
Хи(х) + Xw (х) и (х) = 0. (9.6)
Здесь X — некоторая постоянная, a w (х) — известная функция X, называемая плотностью или весовой функцией. Значение этих определений будет ясно из дальнейшего. Потребуем, чтобы W (х) > 0, исключая, может быть, изолированные точки, в которых W (дг) = 0. Функция Ux (дг), при некотором X удовлетворяющая уравнению (9.6) с заданными граничными условиями, называется собственной функцией, которая соответствует собственному значению X. Нельзя заранее утверждать, что собственная функция их (*) существует при любом произвольно выбранном собственном значении X. Более того, требование существования собственной функции часто ограничивает допустимые значения X дискретным набором этих величин. В этом случае мы имеем дело с математическим отображением процесса квантования в квантовой механике.
Пример 1. Рассмотрим уравнение Лежандра
(\-х*)у"-2ху'+п (л +1)0=0. (9.7)
Из уравнений (9.1) и (9.6)
Р0(Х) = \-Х* = Р, W(X) = I1
P1(X)=-2х = р', Х = п (л-Н), Pz (*) = 0 = q.
(9.8)
Решения уравнения Лежандра (см. разд. 8.4 и 12.9), записанные в виде рядов, расходятся для нецелых п. Ограничение целыми л называется квантованием собственных значений.
Приведем уравнения, перечисленные в гл. 8, к самосопряженному виду и запишем в табл. 9.1 значения их коэффициентов и параметров.
Сформулировав определение собственной функции, мы подчеркнули, что собственная функция их (х) должна удовлетворять определенным граничным условиям, которые можно определить тремя способами.і№(ї f Л A B A O. ТКОРЙЯ ШТУРМА — ЛЙУВИЛлЫ
!.Граничные условия Коши. На границе задано значение функции и нормальной производной. В приложении к электростатике это должно соответствовать заданию потенциала и нормальной компоненты электрического поля En.
Таблица 9.1
Уравнение р {*) q(x) к «' (.V)
Лежандра 1-Х2 0 1(1 + D 1
Лежандра при- -W2Zd--V2) /(/-1-1) 1 1
соединенное (І-*®)'71 (l-x»r,/f
Чебышева I 0 л2
Чебышева II (I -я*)3/а 0 я (я-f 2) (I-^)Vs
Бесселя X а2 X
Лагерра —X хе 0 а е~х
Лагерра при- Xk+1 0 a — k xke~~x
соединенное е-*2 е-*2
Эрмита 0 2а
Гармонического І 0 (О2 1
осциллятора *
* Это уравнение будет отправным в гл. H при рассмотрении рядов Фуріє.
2. Граничные условия Дирихле. На границе определено значение функции.
3. Граничные условия Неймана. На границе задано значение производной функции по нормали (нормальный градиент). В приложении к электростатике это должно соответствовать заданию En и, следовательно, поверхностной плотности заряда а.
Отметим, что начальные условия — частный случай граничных условий. Например, задание начального положения Jt0 и скорости V0 при решении некоторой динамической проблемы будет соответствовать граничным условиям Коши. При рассмотрении одномерных случаев граничное условия задаются на обоих концах интервала изменения переменной.
Обычно граничные условия, поставленные в одной из трех форм на концах интервала (т. е. на его границе),9.!. самосопряженные дифференциальные уравнения 367
гарантируют обращение в нуль следующих произведений: р (X) и (X) _ _ = О, P W и (X) = (9.9)
х=Ь
X=O .....dx
Здесь и (х) — решение обыкновенного дифференциального уравнения (9.6). Однако можно задать и несколько менее жесткие граничные условия
vpu'\x=a=vpu' Ijeaebt (9.10)
в которых и (х) и V (х) — решения дифференциального уравнения, соответствующие одним и тем же или различным собственным значениям.
Предвосхищая результаты квантовой механики, рассмотрим такую возможность, когда уравнение (9.6) может иметь комплексные решения и (х) и V (х). Заменим условие (9.10) граничными условиями для комплексных величин
V*pu' |яг—о — V*ptl' \х=Ъ » (9.11)
«
где и* — комплексно-сопряженная функция V (х). При вещественном V (х), очевидно, V = V* и условие (9.11) сводится к условию (9.10). Поскольку мы полагаем, что Po W — вещественная величина, можно взять комплексно-сопряженное от граничного условия (9.11):
vpu*' Ix=Q = vpu*' Iweb. (9.12а)
Наконец, так как и(х) и у (л;) — два любых решения, и и и можно поменять местами, поэтому
v*'pu\x=a = v*'pu\x=b. (9.126)
Эрмитовы операторы. Докажем теперь важное свойство самосопряженного дифференциального оператора второго порядка [уравнение (9.6)] и решений, удовлетворяющих граничным условиям типа (9.11) и (9.12). Интегрируя на отрезке и используя уравнение (9.4), полу-
чаем
ь ь ь
j v*Xu dx = j v*(pu')'dx+ j v*qudx. (9.13)
a a a
Проинтегрируем по частям
b ' b j V* (puydx = v*pu' - j v*'pu' dx. (9.14)
a a368
глава 9. теория штурма - лиувилля
Согласно граничным условиям (9.11), проинтегрированная часть равна нулю. Снова интегрируя по частям (9.14), имеем
ь ь
- j v*'pu' dx= —v*'pu * + ^u{pu*')'dx. (9.15)
a a
С учетом граничного условия (9.12) снова первый член в (9.15) равен нулю. Комбинируя уравнения (9.13), (9.14) и (9.15), окончательно получаем
ь ь