Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Исходя из сказанного, второе решениеу2 (х) уравнения (8.51) можно записать так:
OO
у2(х) ^yl(X) Inx+ S (8.75)
j——n
Это означает, что необходимо искать логарифмический член, когда уравнение имеет только одно решение, пред-ставимое рядом.
Наконец, из вида второго решения (8.75) можно определить неизвестные коэффициенты dx прямой подстановкой (8.75) в исходное уравнение. Второе решение обычно расходится в нуле вследствие наличия логарифмического множителя и членов ряда с отрицательными степенями х. По этой причине у2 (х) часто относят к нерегулярному решению. Первое решение у і (X), которое обычно сходится в начале, называют регулярным. Поведение решения в начале координат обсуждается более подробно в гл. 11 и 12.
Упражнения
1. Доказать прямым интегрированием, что функции у\ и у2 линейно зависимы, если определитель Вронского тождественно равен нулю.
2. Дифференцированием и прямой подстановкой показать, что
с ехр[-{р(<)Л]
1/2 (х) = У і (X) J -^ 2-ds удовлетворяет уравнению (8.51).
3. С помощью определителя Вронского убедиться, что линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка (8.51) не может иметь трех независимых решений. (Допустить существование третьего решения и показать, что определитель Вронского равен нулю при любом JC.)
X
4. С помощью подстановки i/ = zexp у J P (O^fJ преобрЪзо-вать уравнение (8.5І) к виду
2" + <7(х)г = 0, (где q {x) = Q{x-P' (x)/2-PZ [х)/4. 8.6. функция гринл. аналогия с электростатикой 355
5. Использовать результат предыдущего упражнения и показать, что замена i|) (г) на г\|> (г) приведет к исчезновению первой производной в операторе Лапласа, записанного в сферических координатах.
6. Известно, что R = rm — решение уравнения
1 т2 г г1
Показать, что формула (8.61) дает второе решение R = r~m.
7. Воспользоваться первым решением уравнения для линейного
осциллятора у^(х) — ^J (— Ijnhl (xn/nl) и, применив метод, с поті, неч
мощью которого получено уравнение (8.75), убедиться, что C0 = 0, т. е. второе решение не содержит в этом случае логарифмического члена.
8. Показать, что при нецелом п второе решение уравнения Бесселя, полученное из (8.61), не содержит логарифмического члена.
9. Первое (или второе) решение дифференциального уравнения Эрмита (см. табл. 8.1) при а = 0 (или 1) есть ^i(X) = I (или х). С помощью формулы (8.61) найти второе решение. Убедиться, что это решение эквивалентно решению унеч (учет) из упр. 4 к разд. 8.4.
10. Показать, что если второе решение записано в виде произведения двух функции yz(x)~yi(x) f (х), то подстановка этого решения в исходное уравнение (8.51) в согласии с соотношением (8.61) приводит к выражению
} ap[-lp(i)dt\ '(JH—»—
11. Дифференциальное уравнение Лежандра (см. табл. 8.1) имеет регулярное решение Pn (х) и нерегулярное решение Qn (х). Показать, что определитель Вронского равен
Pn (X) Qn (х) - Pn (X) Qn (X) = Ап/(1 - *«),
где An не зависит от х.
12. Функция yi (х) из соотношения (8.61) удовлетворяет уравнению (8.51). Функция У2 (х) — второе линейно независимое решение того же уравнения. Убедиться, что нижние пределы в обоих интегралах не играют существенной роли, т. е. они обеспечивают дополнительный вклад во все множители и умножаются на известное решение.
13. Первое решение дифференциального уравнения Лагерра (см. табл. 8.1) для /1 = 0 есть ^1(X) = I. С помощью формулы (8.61) получить второе линейно независимое решение. Записать в явном виде логарифмический член.
8.6. ФУНКЦИЯ ГРИНА.]АНАЛОГИЯ С ЭЛЕКТРОСТАТИКОЙ
Для более ясного представления существа метода функции Грина, разработанного для решения неоднородного дифференциального. уравнения в частных производных,
23* 356 гл. 8. дифференциальные уравнения ВТОРОГО ПОРЯДКА
удобно воспользоваться примером из электростатики. Если заряд отличен от нуля, то электростатический потенциал о}) удовлетворяет неоднородному уравнению Пуассона (см. разд. 1.14)
Vh\> = — р/є0 (единицы МКСА), (8.76)
если электростатических зарядов нет (р = 0), он удовлетворяет однородному уравнению Лапласа
V2tJ) = 0. (8.77)
Пусть заряды qi~ точечные, тогда решение
TT '(8-78)
{
является суперпозицией решений, полученных для каждого точечного заряда в предположении кулоновского взаимодействия между двумя точечными зарядами и q2:
F--- JlthrI . (8.79)
Заменив систему дискретных зарядов на непрерывно распределенный заряд с плотностью р, запишем решение (8.78) иначе:
+ <г = °) = -5йГ Jp-TdV . (8-80>
а для потенциала в точке г = Tj, обусловленного зарядом в точке г —г2, имеем
¦ с.)-TC7Jnft^ (8-8')
Дельта-функция Дирака. Формальный вывод и обобщение решения (8.81) можно облегчить, используя б-функцию Дирака (см. разд. 1.15). Одномерная б-функция, по определению, имеет следующие свойства:
o (X) = O для* =^ 0; (8.82)
OO
J 6(х)dx (8.S3)
—оэ
оэ
J f(x)b(x)dx = f(0). (8.84)
— 00 8.6. функция грина. аналогия с электростатикой 357
Дельта-функция б (Ap) — псаналмтическая, по се можно получить, делая предельный переход, с помощью аналитической непрерывной или кусочно-непрерывной функции. Чаще всего встречаются такие представления б-функции (рис. 8.1):
