Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
которые мы выберем так, чтобы определитель Вронского оказался равен единице (или —1). Случай с P (х) — О встречается гораздо чаще, чем это кажется на первый взгляд. Читатель помнит, что оператор V2 в декартовых координатах не содержит первой производной. Точно так же отсутствует она и в радиальной части V2 (п|?) в сферических координатах. Наконец, любое линейное дифференциальное уравнение второго порядка можно привести к виду (8.55) (см. упр. 4).
Предположим далее, что уже имеется одно решение уравнения (8.51), которое мы получили, например, методом Фробениуса (или просто угадали его). Получим второе, независимое решение. Для этого перепишем (8.54)
W 7IA
-^- = -Pdx
и проинтегрируем полученное выражение от X1 = а до Xi = х, тогда
(8.57)
(8.58)
(8.59)
Наконец, интегрирование (8.59) от Xz — Ь до X2 = х окончательно дает
*2
* exp [-J P (Xi) dx і]
Уг (X) = yt (X) W (a) j-^yj1-dxt. (8.60)
ь
Здесь а и b — произвольные постоянные; член У і (х) У 2 (b)lyi (b) опущен, так как он не дает ничего нового. Поскольку определитель Вронского W (а) равен некоторой постоянной, а решения однородного дифференциаль-
W(х) = W(a)exp[-Jp(AT1)^1] .
а
Но
Комбинируя уравнения (8.57) и (8.58), получим
JC
ехр[-|/>(*,) <г*,]
* (M)^w{а)-° 8.5. Второе рёшёНйё
351
ного уравнения всегда содержат неопределенный нормировочный множитель, положим W (а) = 1, тогда
X
у* W - Ui W j ""^»!мУ^1^- (8'61)
Отметим, что здесь опущены нижние пределы интегрирования Xi = а и — Ь. Если их сохранить, то они приведут просто к возникновению дополнительного постоянного множителя при известном первом решении уI (дг). В частном случае P (дг) = 0 формула (8.61) сводится к следующей:
зс
у* W = f W StoTwlT- (8-62)
Это значит, что с помощью (8.61) или (8.62) можно интегрированием одного известного решения получить второе независимое решение уравнения (8.51). Этим методом в разд. 12.9 найдено второе решение дифференциального уравнения Лежандра.
Пример 3. Уравнение (8.21) с P (х) =0 имеет одно решение: = sinx. После подстановки в формулу (8.62) мы получим второе решение
X
t/2 (х) = Sin X j ^g2jc ~ ^in X (— Ctg х) — •—COS X,
которое, очевидно, не зависит (не может быть получено умножением) от sinx.
Второе решение дифференциального уравнения можно получить следующим образом.
1. Запишем коэффициенты уравнения (8.51) P (дг) и Q (х) в виде
OO OO
P(X)=* S PtX1i Q(X)= S qjx}. (8.63) i=-l j=~ 2
Нижние пределы суммирования выбираются исходя из требований теоремы Фукса.
2. Методом Фробениуса получим несколько первых членов этого ряда. >
352 r^- 8. дифференциалы if,il- уравнения второго порядка
3. Отождествим это решение с Ijt н, затем почленно проинтегрировав с помощью формулы (8.61), получим второе решение у2, которое также будет некоторым рядом.
Начнем с того, что подставим (8.63) в исходное уравнение
у" + (р^х*1 + р0+ Pi^ + ...) у' + + (q.zx-* + q^x-ь + ...) у ¦= 0. (8.64)
Полученное уравнение в точке имеет регулярную
особенность. Если p-i = q-i = q.z — 0, то х -¦= 0 — обыкновен-
OO
ная точка. Подставив */= S a\xk+x, получим I (k + k)(k + k-\)aKxh+b-* +
X=Q
OO OO OO OO
+ S PiXi^ik-I-VakXk^i+ S q .Xі 2 й\Хк+х — 0. (8.65)
S=-I Л—О J=-2 J А,=0
Предположим, что р-іфО и <7-2^0, и запишем определяющее уравнение
+ + = (8.66)
корни которого обозначим к = а и к — а — п, где п равно нулю или целому положительному числу. (Для нецелых а нетрудно получить оба независимых решения методом Фробениуса.) Тогда
(k — а) (к — а -+ п) = 0. (8.67)
Приравняв коэффициенты при к в уравнениях (8.66) й (8.67), получим
р _{ —¦ 1 = п —2а. (8.68)
Решение, соответствующее значению/га, можно записать
OO
в виде ряда Iji-Xa 2 (hxk, подстановка которого в фор-
K=O
мулу (8.61) дает
Xz со
ж ехр (— J 2 Pix IrfjcO
Уг (X) = У і (*) J -MFi-*** (8'69)
K=Q 8.5. ВТОРОЕ РЕШЕНИЕ
353
Решения Iji и уч нормированы так, что W (о) 1. Представим показатель экспоненты в виде
Л 2 CXD
j 2 Pi*?Inx2-I- (8-70)
« Ji=O
откуда
Xz
ехр (— j 2 Р*х\ dXi) =
« і
OO
exp [ - f (а)] x~r>- »exp ( _ 2 ATI *2+1)
ft= 0
OO
exp [ - f (0)] XiP-I [ 1 - 2 Tfrxt1 +
ft=0
OO
(в-?»)
ft=O
Полученное разложение, которое стоит в показателе экспоненты, безусловно, сходится, если коэффициент P (jt) представлен сходящимся рядом.
Преобразуем знаменатель выражения (8.69):
OO OO OO
И* (S0 2] - ^ ^2a (S0 Яя4)-2 - *22a S0 Mi .
(8.72)
Пренебрегая постоянными множителями, которые несущественны благодаря условию W (а) = 1, получим
OO
Уг(х) = У,(х) J х;*-'"2" ( 2 с>4) dx^ (8'73)
х=о
Из условия (8.68)
*2P-1~2a = *Fn~1' (8.74)
где в соответствии с предположением п — целое. Следовательно, интегрирование последнего выражения приведет
23-1257 354 г л. 8. дифференциальныЕ уравнения второго порядка
к такому коэффициенту при у і (л:), который состоит из двух частей: из степенного ряда, начинающегося с члена дг", и логарифмического члена, который появился после интегрирования дг1 (при X = /г). Вообще говоря, этот член появляется всегда, когда п — целое, если только сп случайно не окажется равным нулю.
