Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 92

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 185 >> Следующая


где штрих означает умножение на 2m/ft2.

8. Вблизи ядра сложного атома потенциальная энергия одного электрона записывается как V = (Ze2Jr) (1 +bir+^z)» где коэффициенты и &2 описывают действие экранировки. Показать, что в случае ненулевого момента количества движения первые три члена решения уравнения Шредингера имеют ту же формулу, что и соответствующие члены в упр. 7. С помощью преобразования коэффициентов или параметров записать первые три члена в разложении волновой функции.

9. Решить дифференциальное уравнение

(1 - *«) Vn (X) - ZxVn (х) + rt(n + 2)Un (х)« О,

выбрав такой корень определяющего уравнения, чтобы решение представляло собой ряд по нечетным степеням X. Поскольку ряд будет расходящимся в точке х = 1, подбором п превратить его в полином.

Ответ-. 4(4-1)-0. Пр.

10. Построить решение дифференциального уравнения Лагерра (см. табл. 8.1), а затем подобрать параметр rt так, чтобы получить из этого ряда полином.

11. Решить уравнение Чебышева (см. табл. 8.1). Каким условиям должен удовлетворять параметр л, если потребовать, чтобы найденный ряд сходился при д; = +1 ?

8.5. ВТОРОЕ РЕШЕНИЕ

В разд. 8.4 методом Фробениуса мы получили решение однородного дифференциального уравнения второго порядка. Мы установили, что в соответствии с теоремой Фукса такое представление решения возможно в окрестности обыкновенной или несущественно особой точки *. Однако нет гарантии, что этот метод позволит получить оба независимых решения, которые должны существовать в случае дифференциального уравнения второго порядка. Более того, с помощью этого метода мы смогли найти только одно решение уравнения Бесселя (при п целом). Изложим теперь

* Классификация особенностей в разд. 8.3 имеет исключительно важное значение. [

348 гл. 8. дифференциалы1ыг, уравнения второго порядка

два метода получения второго независимого решения: интегральный метод и метод разложения в степенной ряд, содержащий логарифмический член. Однако сначала рассмотрим вопрос о независимости системы функций.

Линейная независимость решений. Пусть задана система функций срх- Будем считать ее линейно зависимой, если в соотношении

SfeKPiI = O (8.47)

не все kj, равны нулю. Если соотношение (8.47) имеет место лишь когда k\ равны нулю, то система функций ср>. называется линейно независимой.

Предположим, что функции фх дифференцируемы нужное число раз. Тогда, продифференцировав соотношение (8.47), получим систему уравнений

SfeKPi = Ol (8.48)

к

SfeiTl = Of ... (8.49)

к

Таким образом, получилась система однородных линейных уравнений с неизвестными коэффициентами k%. Решение этой системы отлично от нуля k\=/=o в том, и только том случае, если определитель, составленный из коэффициентов при k%, равен нулю:

Фі ф2 фп
ФІ ф2 ¦.. фп = 0. (8.50)
-Jn-і) фі (п— 1) ф2 Mj п

Определитель (8.50) называется определителем Вронского.

1. Если определитель Вронского не равен нулю, то уравнение (8.47) не имеет иного решения, кроме fe, = 0. Следовательно, фа, образуют систему независимых функций.

2. Если определитель Вронского обращается в нуль при некоторых изолированных значениях аргумента, то это не обязательно означает линейную зависимость. Однако если он равен нулю в некоторой области изменения переменной, то функции линейно зависимы внутри этой области * (см. упр. 1 с простым примером двух функций).

* Доказательство см. в книге Lass Н. Elements of Pure and Applied Mathematics. N.Y., McGraw-Hill, 1957. 8.5. ВТОРОЙ РШНІ-ШШ

Пример. 1. Решениями уравнения линейного осциллятора (8.21) ЯВЛЯЮТСЯ функции (j)j = sill (О.V, ф2 — COS (J)X. Определитель Вронского

Sin (О* COSWX W COS WX — W S І И WX

(о ф 0.

Следовательно, решения Tp1 и фг линейно независимы. В случае двух функций это означает, что ни одна не может быть получена из другой простым умножением на постоянную.

Пример 2. Для иллюстрации линейной зависимости рассмотрим решение одномерного диффузионного уравнении. Мы имеем Cpt--ех, tp2 = e^a"» добавим к ним cf>3 = ch.v, которая также является решением. Определитель Вронского

qX Q-X Ch х

QX _ е-Я Qll х

ех е-* ch X

= 0

для всех дг, поскольку первая и третья строки совпадают. Следовательно, функции ех, е-*, chx линейно зависимы, и они связаны соотношением вида (8.47):

е* +е-*—2 ch х = 0.

Обратимся вновь к линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка в общей форме:

tf + P (х) у' + Q(x)y = 0. (8.51)

Пусть у і Viy2- два независимых решения. Тогда, по определению, определитель Вронского

У = УіУІ-Уй» (8.52)

Продифференцируем его:

W' = у[у'% 4- УіУІ - УІУ2 - y[lh У і [ - P W У 2 - Q M -

- у2 [ - P (*) у[ - Q (X) у А = - P (X) (УіУ'г - у[у2). (8.53)

Выражение в скобках равно определителю Вронского W,

поэтому *

Wt=Z — p(x)W. (8.54)

Если Р(х) = 0, т. е.

+ (8.55)

то определитель Вронского

И7 = УіУг - У'іУг =¦ const. (8.56)

Исходное дифференциальное уравнение однородно, поэтому его решения у і и г/а можно умножить на любые постоянные, 350 г л. 8. дифференциальные уравнения второго порядка
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed