Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
В уравнении (8.46в) добавлен член у'Ix. Определяющее уравнение имеет вид k2 — а2 = 0, но с его помощью снова нельзя получить рекуррентной формулы. Очевидно, оба решения уравнения (8.46в) у = Xa1 х~а могут рассматриваться как один из членов ряда.
Изменение показателя степени х в коэффициенте при у' в уравнении (8.46г) от —1 до —2 приводит к коренным изменениям в решении. Определяющее уравнение (с вкладом только от члена у') имеет вид к = 0, а рекуррентное соотношение записывается гак:
Д. - д.*8-/(/-1)
«J+1- — aJ J^rl
Вообще говоря,
Iim
оо
flJ+1
aJ
.Iim OtjH = Hm ?
I-* СО / I ' woo I
----- OO1
следовательно, ряд, который представляет решение исходного уравнения, расходится (только специальным подбором а можно ограничить ряд). Здесь снова метод представления решения в виде ряда (метод Фробениуса) оказался неподходящим, как только особенность уравнения (8.46г) стала нерегулярной.
Теорема Фукса. В окрестности обыкновенной или, в худшем случае, регулярной особой точки можно получить по крайней мере одно решение, представленное степенным рядом. Эта теорема отвечает на вопрос, когда метод Фробениуса оказывается успешным. Разложение вблизи нерегулярной или существенно особой точки, как показано в уравнениях (8.466) ті (8.46г), не приводит к нужному 8.-1. М1-.Т0Д ФРОВР.ПИУСЛ
результату.- К счастью, большинство важных уравнений математической физики, перечисленных в разд. 8.3, не имеют нерегулярных особенностей в конечной области.
От корней определяющего уравнения зависит, сколько независимых решений можно получить методом Фробе-ниуса.
J. Если два корня определяющего уравнения равны друг другу, то решение, представимое в виде ряда, одно.
2. Если два корня отличаются друг от друга на нецелое число, то можно получить два независимых решения.
3. Если два корня отличаются друг от друга на целое число, то больший из них определяет решение. Получение решения с помощью меньшего корня зависит от поведения коэффициентов. Так, уравнение линейного осциллятора имеет два решения, а уравнение Бесселя — только одно.
Упражгіения
При решении упражнений использовать метод Фробениуса, I. Решить уравнение Лежандра (см. табл. 8.1). Показать, что k (?—1) = 0—определяющее уравнение. Получить ряд по четным степеням д:(с = 0, aj = 0):
Учет — °о
где
2!
j{j + l)-n(n+\)
Н2~~ (/+«И/+2)
и ряд но нечетным степеням x(k=\, ai = 0) w -а [у (rc-l)(tt + 2) (к-1)(к-3)(,і+2)(к + 4) - , 1
У кеч—aO \Х--з]-Х*-\--gj- X0+... J
где
(/ + l)(; + 2)-tt(tt+l) (/+2)(/ + 3) ^
Показать, что оба решения расходятся в точках х = ± 1, если в полученных рядах взять бесконечное число членов.
Показать, что при соответствующем выборе один ряд может быть превращен в полином, в результате чего решение нерасходящееся.
2. Получить решение гипергеометрического уравнения (8.18). Исследовать сходимость решения.
3. Получить два независимых решения вырожденного гипергеометрического уравнения (см. табл. 8.1). Исследовать сходимость рядов. $46 м. е. дифференциальные уравнения второго порядка
4. Получить два решения дифференциального уравнения Эрмита (см. табл. 8.1).
Ответ: Определяющее уравнение k (k—1)*=0.
Для А: —0, аН2 == 2aj щгщ^щ- ^ ~ четное)
„ [\ і 2 і 28 (-а) (2-а) X' П #чет — O0 li-|--2J--1--4]--г • • • J
Для A= 1, aj+г - 2а j ' (/ - четное)
„ [г 1 2(1-а)дс» , 22 (1-а) (3 — а) х5 Л «/неч~а0 I * H--3J--1--Cjj--г • • • J •
Показать, что оба ряда сходятся и ведут себя аналогично разложению для функции еж2. Показать, что соответствующим выбором а найденные решения можно упростить и превратить в полиномы с конечным числом членов. Эти полиномы, нормированные соответствующим образом, называются полиномами Эрмита (разд. 13.1).
5. Квантовый анализ эффекта Штарка (в параболической системе координат) приводит к дифференциальному уравнению
где а—константа разделения; E—полная энергия; F—постоянная, которая входит в выражение для потенциальной энергии Fz, добавляемой к системе при включении электрического поля.
Используя наибольший из корней определяющего ^уравнения, получить решение в окрестности точки | = 0в виде степенного ряда. Выразить первые три коэффициента через а0-
Ответ: Определяющее уравнение т/А.— О,
+Г___a_'їм. \
|_2 (/п +1) {т-1-2) 4(/п+2) J S J '
Заметим, что возмущение F никак не проявляется, пока мы не учитываем аз.
6. В частном случае отсутствия азимутальной зависимости квантовомеханическое рассмотрение молекулярного иона водорода приводит к уравнению (см. разд. 2.10)
Получить функцию U (rj) B виде степенного ряда. С ПОМОЩЬЮ (Iq вычислить первые три неисчезающих коэффициента. Ответ: Определяющее уравнение k(k—І)— О, 8.5. второе рр.шеніік
347
7. С хорошим приближением взаимодействие двух ядер можно описать потенциалом мезонпых сил V = Ле~°~/л:, притяжению соответствует отрицательное Л. Решить волновое уравнение Шредингера
Получить первые три ненулевых коэффициента.
Ответ: = a0 {х-г j А'х2+\ [у А'^-Е'-аА' j . .|,
