Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
где X (х) — дифференциальный оператор, мы видим, что для линейного осцилляторного уравнения (8.21) оператор X (х) — четный, т. е.
Всякий раз, когда дифференциальный оператор обладает определенной четностью, четной или нечетной, или симметрией, можно поменять местами -f я и —,г, а уравнение (8.32)
X (X) у (X) О,
(8.32)
Х(х) = Х(-х).
(8.33)
переписать так:
±Х(х)у(-х) = О,
(8.34)8.4. Метод фропеішусА
341
причем берется знак плюс, если оператор X (*) четный, и знак минус, если нечетный. Очевидно, если у (х) — решение дифференциального уравнения, то и у (—х) тоже будет решением. В таком случае любое решение можно разло-•жить на четную и нечетную части:
y(x) = jly(x) + y(-x)i + ±ly(x)-y{-x)]. (8.35)
Здесь первая скобка справа дает четное решение, а вторая — нечетное.
Отметим, что дифференциальные уравнения (или дифференциальные операторы) Лежандра, Чебышева, Бесселя, Эрмита и простого гармонического осциллятора являются четными. Решение каждого из этих уравнений может быть представлено рядом по четным и рядом по нечетным степеням X. Дифференциальный оператор Лагерра не имеет определенной симметрии, поэтому и его решение не будет характеризоваться четными иЛи нечетными свойствами. Рассмотрим теперь уравнение Бесселя
хУ±ху' + (х*-п«~)у = 0, (8.36)
где у' -dyldx, а у" — dryIdx2. Снова будем искать решение
OO
в форме у(х)= 2 Продифференцируем и подставим
A=O
этот ряд в уравнение (8.36):
OO OO
S aK(k + k)(k + k-l)x*+*+ S ax(k-\~k)xh^ +
a=o а—о
OO OO
+ S а^ч я+2 - 2 ая/iW-* ^ 0. (8.37)
a=o a=o
Положим к = 0, тогда, приравняв нулю коэффициент при низшей степени хк в левой части уравнения, получим
а0 Ift (ft - 1) -b /е - /I2J = 0, (8.38)
снова, по определению, а0 ф 0. Следовательно, из последнего выражения получится определяющее уравнение
ft*-Zts = O (8.39)
корнями342 гл. 8. дифференциальные уравнения второго порядка
Исследуем коэффициент при xh+1. В этом случае O1 [k [k + 1) 4- k + 1 — п2\ - 0, или
O1 (k + 1 — п) {k + 1 + п) - О (8.40)
при k — ± її ни k + 1 — п, ни k + 1 + п не могут обращаться в нуль, поэтому мы должны потребовать, чтобы а, = 0*.
Переходя к коэффициенту при xk+1, где k = /І, мы положим X = j в первом, втором и четвертом членах уравнения (8.37) и А, = / — 2 — в третьем члене. Вновь потребуем равенства нулю коэффициента при .tft+7:
aj Кп + j) (п + / - 1) -I- (п + j) - пЧ + aj _2 - 0, Сделав замену j / + 2, получим рекуррентную формулу
flZfa= ~aJ (/+2)(2^+/+2) • (8'41)
Использование этой формулы приводит к следующим значениям коэффициентов:
_ 1 _ Qptll
U2 а° 20/Г+2) " ~ 221! (п+1)! '
1 , йпП\
Ъ = -O2 „TOTXIX=" +
4(2/1 + 4)" 1 242! (я+2)! ' — 1 _ арп\
fl6- ~a46(2n + 6)"" ~~ 2^31(/1 + 3)1 ИТ'Л''
и в общем виде
< ¦- ')Р/2 2Р(Р/2)1°(п+Р/2)1 ' " - че™ое- (в-42) Подставим эти коэффициенты в предполагаемое решение
-ШТЙПЇГ+2WSSuT—•]¦ (8-43)
Если положить 2/= р, то решение примет вид:
п\ Xn+2J
*/ = «<> 2 (-^21/1 (л+/)!' j=0
OD
«о2"2(-1)^{1)"+2І. (8.44)
J=O
Исключение составляют значения k =+/1=-1/2.8.4. метод фробениуса
343
В гл. И последняя сумма отождествлена с функцией Бесселя Jn (х). Заметим, что это решение Jn (х) не имеет определенной симметрии *, как это и можно было ожидать из формы уравнения Бесселя.
і I Когда k — — и, а само п — нецелое, мы можем образовать второй специальный ряд, обозначаемый символом J-n W- Однако при її целом и отрицательном возникают затруднения. Рекуррентное соотношение для коэффициентов aj по-прежнему задано формулой (8.41), в которой 2п заменено —2п. Тогда если j + 2 — 2п или / = 2 (п — 1), то коэффициенты uj+2 не определены и нельзя образовать ряда, который был бы решением уравнения. В гл. И будет получено соотношение
J _п (х) = (_ l)n Jn (X)y п — целое. (8.45)
Второе решение просто повторяет первое. Таким образом, при целом п мы не можем построить второе независимое решение уравнения Бесселя, используя метод Фробеииуса.
Но с помощью этого метода удалось получить два решения дифференциального уравнения линейного осциллятора и только одно решение уравнения Бесселя (два, если п — нецелое). Таким образом, этот метод работает не всегда, поскольку представить решение уравнения рядом не всегда возможно. Успех или неудача применения этого метода зависит от корней определяющего уравнения и характера особенностей коэффициентов дифференциального уравнения. Для более ясного представления о том, какое влияние оказывают коэффициенты, рассмотрим четыре простых уравнения:
(а) (б) У"-~У-0, ^
(в) !f + jy'—^y = О,
(г) 0.
(8.46)
Легко убедиться, что для (8.46а) определяющим уравнением является k2 — k — 6 = 0, откуда k = 3, —2. Посколь-
* Функция Jn (х) четная, если п — четное целое число, и нечетная, если п — нечетное целое. Для нецелых Il функция Xn не имеет такой простой симметрии.3-і I гл. 8. ДИФФПРГСЇЩНЛЛЬПЬНі УРЛПНКПИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ку дифференциальное уравнение однородно по х (d2fdx2 рассматривается как JT2), для него нельзя получить рекуррентного соотношения; а} = О для і > 0. Однако остаются два вполне подходящих решения, г' и Л'-2. Уравнение (8.466) отличается от уравнения (8.46а) только одной степенью x, но это приводит к определяющему уравнению вида — 6а0 =0, что противоречит исходному предположению, ибо, по предположению, а0 Ф 0. Подстановка ряда была возможна для уравнения (8.46а), которое имеет только регулярную особенность, но для уравнения (8.466) с нерегулярной особенностью в начале координат она не подходит.