Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
^f-YP (X) % -YQ (X) у -FW. (8.20)
где F (х) описывает источник (например, электростатический заряд) или вынуждающую силу (в случае осциллятора, который совершает колебания под действием некоторой силы). При F (*) Ф 0 уравнение (8.20) называют неоднородным. Решение неоднородных уравнений рассмотрено в разд. 8.6, 15.10 и в гл. 16. Здесь же будем предполагать, что дифференциальное уравнение однородное, т. е. F (х) = 0.
Попытаемся получить решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами. Кроме того, в качестве параметра зададим показатель степени низшего нулевого члена этого ряда. Применим указанный метод к двум важным дифференциальным уравнениям. Для линейного осцилляториого уравнения
Ц+ "А/ = 0 (8.21)
решения известны: они имеют вид у — Sin (О*, COS CD*. Положил!,
OO
у (X) = xk (а0 + CilX + а2*2 -j- а3х3 + . • •) = 2 а&к+\ а0 Ф О,
(8.22)
J? Я—1257 338 г л. 8. дифференциальные уравнения ВТОРОГО ПОРЯДКА
где показатель степени k и все коэффициенты а% пока неизвестны. Дифференцируя дважды, получаем
OO
2 а*« + *)**+*-»,
a=o
со
dxa
2? (ft +А,) (A + Я-l)^-2.
a=o
Подставим полученные производные в уравнение (8.21):
ОЭ OO
2 ax(ft+Jl)(ft + X- 2 а***+* = 0. (8.23)
a=o a=o
На основании единственности степенного ряда (см. гл. 5) коэффициенты при каждой степени х в левой части уравнения (8.23) должны каждый в отдельности равняться нулю. Член с низшей степенью X в уравнении (8.23) возникает в первой сумме; если положить 1 = 0, этот член содержит Xh~2. Итак, a0k (ft — 1) = 0. Постоянная а0 выбрана в качестве коэффициента при первом неисчезающем члене с низшей степенью X в уравнении (8.22); таким образом, по определению, а0 ф 0. Поэтому
k (ft - 1) = 0. (8.24)
Это уравнение, полученное с помощью коэффициента при низшей степени Xt мы назовем определяющим. Определяющее уравнение и его корни имеют решающее значение для всего дальнейшего анализа. Очевидно, в данном примере нужно потребовать, чтобы ft = О или ft = 1.
Прежде чем рассмотреть возможные значения kt возвратимся к уравнению (8.23) и потребуем, чтобы оставшиеся коэффициенты, скажем коэффициенты при Xk+' (/!>0), обращались в нуль. Положим, к — / + 2 в первой сумме и X = / + 1 во второй. (Суммирование в них производится независимо, а X есть немой индекс.) В результате получим cij+2 (ft + / + 2) (ft + / + 1) + ®2aj = 0 или
a j* 2 = - aj (Л+/+2®(А+/+1) ' (8'25)
Это соотношение отражает рекуррентную связь между двумя коэффициентами. По заданному O7- можно определить а,-+3, 8.4. МЕЇОД ФІЮВЕЙИУСА
339
а затем aj+b aj+B и т. д. до требуемого коэффициента. Читатель, конечно, обратил внимание, что для этого примера, если только начать с коэффициента а0у уравнение (8.25) позволяет определить коэффициенты только с четными индексами аъ a4 ит. д., тогда как коэффициенты а\, йз> ^s остаются неопределенными. Поскольку можно по своему усмотрению распорядиться произвольным коэффициентом Cil, положим его равным нулю, откуда с помощью (8.25) получим Яз = Я5 = Й7 = • • • = О, т. е. все коэффициенты при нечетных степенях исчезают. Однако это не должно вызывать беспокойства, поскольку мы должны получить решение, а не возможно большее число коэффициентов.
Возвращаясь к исходному уравнению (8.24), мы сначала остановимся на одном из значений k = 0. Для этого случая рекуррентное соотношение (8.25) примет вид
откуда а2 — — a0, Ct4... Методом математической индукции получим
«.-(-D-Sr*. (8-27)
Теперь решение имеет вид
y(*)*=.o = flo[l + .. .J^a0COSG)*.
(8.28)
Если в качестве корня, определяющего уравнения, выбрать значение &==1, то рекуррентная формула запишется иначе:
- -%+зГ(/+2) ' (8'29>
Подставляя сюда последовательно / = 0, 2, 4, получаем
_ О)2 О)4
CL^ —---•••»
откуда снова можем записать, что
a^=(-1Pprripa- І8-30)
22* 3-10 8- дНффр.рпііцііллЬиьи- у i\\ mi г.пня btoi1oi o Порядка
При таком выборе k получаем
Метод подстановки ряда, называемый методом Фробениу-са, позволяет получить два решения уравнения линейного осциллятора в виде ряда. Однако в связи с таким представлением решения дифференциального решения следует особенно подчеркнуть следующее:
1. Решение, полученное в виде ряда, нужно всегда проверять подстановкой в уравнение, чтобы не возникало алгебраических її логических ошибок. Если после подстановки уравнение тождественно удовлетворяется, то найденный ряд будет решением.
2. Возможность представления решения рядом зависит от его сходимости (включая асимптотическую сходимость). Указанный метод вполне допускает, что можно получить ряд, который удовлетворяет дифференциальному уравнению, но расходится в интересующей нас области. Примером такого поведения может служить дифференциальное уравнение Лежандра.
Читатель, безусловно, отметит, что мы получили одно симметричное решение yi (jc) = yi (~дс) и одно антисимметричное у2 (*) = — у2 (—Jf). Это произошло не случайно, а явилось прямым следствием формы дифференциального уравнения. Записав дифференциальное уравнение в общем виде
