Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Все координатные системы (см. гл. 2) допускают разделение волнового уравнения и уравнения Гельмгольца на обыкновенные дифференциальные уравнения. * Рассматривая поочередно каждую из этих четырнадцати систем, можно заметить, что во всех них разделенные обыкновенные дифференциальные уравнения в значительной мере дублированы. В любой из этих систем зависимость от координаты, соответствующей оси сдвига, или от азимутального угла в разделенных уравнениях всегда для азимутального угла выражается в форме
d2 Ф(Ф)
</<Р2
и для переменной Z
т2 Ф (ф)
^ = ±a'Z(z), (8.4)
соответствующей оси сдвига в одной из цилиндрических систем координат. Решения последнего уравнения имеют форму sin az и cos az для отрицательной правой части и sh аг и ch az для положительной.
Часто приходится иметь дело с уравнением Лежандра
Я'Ж^О + 'С+1)0 = 0'
(!-^)11-2^+^+1)(/-0
(8.5)
(8.6)
dx* dy
и присоединенным уравнением Лежандра
Эти уравнения получаются после записи V2 в сферических координатах (см. разд. 2.5). Координаты сплющенного
* Система биполярных координат и системы тороидальных и бисферических коорди^рт являются исключением. Они рассматривались только для того, чтобы показать, как специальные системы координат можно использовать при решении некоторых задач.
** Здесь мы имеем две эквивалентные алгебраические формы, в которых X — cos 6. 332 Г Л. 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
и вытянутого сфероидов также приводят к уравнениям Лежандра.
Третье очень распространенное уравнение называется уравнением Бесселя
+*$ + (**-«¦)<* = O- (8.7)
В разд. 2.5 и 2.6 мы убедились, что использование сферической и круговой цилиндрической систем координат приводит к различным формам уравнения Бесселя. Разделяя переменные в уравнении Лапласа в параболических координатах, мы также придем к уравнению Бесселя. Необходимо заметить, что существует множество разновидностей этого уравнения *.
Другой тип обыкновенных дифференциальных уравнений, к которому относится уравнение Лагерра и присоединенное уравнение Лагерра, связан с исключительно важной п квантовой механике проблемой атома водорода:
+ = (8.8) *T&+V + k-x)4L + ay-- 0. (8.9)
В квантовой теории линейного осциллятора получается уравнение Эрмита
S-2*? + 20* = 0- .<8Л0>
Наконец, довольно часто приходится сталкиваться с дифференциальным уравнением Чебышева
Перечисленные обыкновенные дифференциальные уравнения и два более общих типа, включающих эти уравнения, исследованы и систематизированы в следующем разделе. Общие свойства, вытекающие из формы дифференциальных уравнений, обсуждаются в гл. 10.
* Я н ке E., Эмде Ф. Таблицы функций с формулами и кривыми. Изд. 3. M., Физматгиз, 1959. 8.3. ОСОБЬІЕ to4KH
333
Упражнения
1. Убедиться, что после разделения переменных в уравнении Лапласа в системе координат вытянутого сфероида (см. разд. 2.10) зависимость от и ни описывается уравнением Лежандра; после разделения переменных в системе координат сплющенного сфероида (разд. 2.11) зависимость от переменной и описывается уравнением Лежандра, а от переменной и—уравнением Лежандра мнимого аргумента (замечание: ch/x = icosx, shix = is\nx)\ после разделения переменных в параболических координатах (см. разд. 2.1 2) зависимость от переменной I описывается уравнением Бесселя, а от переменной г]—уравнением Бесселя мнимого аргумента. (Уравнение по переменной ^ идентично уравнению из разд. 11.4 для функций Бесселя мнимого аргумента.)
2. Одномерное волновое уравнение Шредингера для частицы в потенциальном поле V = kx2/2 имеет вид
Делая подстановку I = ах, показать, что
о,
/ mk \ 1/4 2E ( т \ 1/2 гдея™1-р-1 ; А—I — I . 1 Ioacthbhr искомую функцию
в виде = показать, что y{Q удовлетворяет диффе-
ренциальному уравнению Эрмита.
3. Показать, что уравнение Лапласа V2i|)~0 в полярных координатах имеет решение
OO
Ф(р, ф)= 2 («nPn-Hnp"n)e±fn(P,
п=0
где ап и Ьп— некоторые постоянные.
4. Показать, что одномерное диффузионное уравнение
(х, t) 1 {х, і)
дх2 ~~ fl2 ' dt
имеет решение
OO
ф(х, O= 2 СЛС05(л*+ ф;г)е-а2п2і, п=0
где сп и фп — некоторые постоянные.
8.3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
Введем понятие особой точки, или особенности (применительно к дифференциальному уравнению). Значение, кото-* рое придается особым точкам, связано с классификацией 334 г л. 8. дифференциальные уравнения второго порядка
дифференциальных уравнений и с исследованием возможно-ности получить решение уравнения в виде ряда (разд. 8.4).
Во всех обыкновенных дифференциальных уравнениях, перечисленных в разд. 8.2, можно выделить член (Pyldx2. Обозначая (Pyldx2 = у", можно записать
У" = f (*, У, у'). . (8.12)
Теперь, если в уравнении (8.12) у к у' могут принимать любые конечные значения при х = X0, а вторая производная у" остается конечной, точка х = X0 называется обыкновенной. Если же у" становится бесконечной при любых конечных у и у', точка л" = л"0 называется особой точкой.
Определить особую точку можно иначе. Запишем дифференциальное уравнение в форме
