Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
5. Показать, что Re [f (г)] < Re [/ (Zo)J = O для точки г, лежащей на контуре Cj (см. рис. 7.19), но далекой от точки z== Zo==/.
Показать, что /(z)>0 для z = rei0, 0<г<1, я<8<Зя/2.
с
и ГЛАВА 8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
8.1. ТИПЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Дифференциальные уравнения широко используются в физике, причем в большинстве случаев — это дифференциальные уравнения в частных производных. Перечислим те из них, которые встречаются наиболее часто.
1. Уравнение Лапласа = 0. Это общее и очень важное уравнение возникает при изучении электромагнитных явлений, гидродинамики (безвихревое течение идеальной жидкости), термодинамики и гравитации.
2. Уравнение Пуассона V2\j) = —р/е0.
3. Волновое уравнение (уравнение Гельмгольца) и стационарное уравнение диффузии V2ij? ± 1гЦ> = 0.
4. Нестационарное уравнение диффузии = •
и соответствующие четырехмерные формы этого уравнения, содержащие даламбертиан, четырехмерный аналог лапласиана в пространстве Минковского:
na=v4'—-—+—+—+ аа
L-I ' /ivf, I д.,2 I л*2 Г
дх\ ' дх2 ~ ду* T дг2 Г ^2 ^a •
5. Нестационарное волновое уравнение O2^ =
6. Уравнение скалярного потенциала 02/ф -- —р/S0.
7. Уравнение Клейна — Гордона П2/ф = [х2,ф и соответствующие векторные уравнения, в которых скалярная функция заменена векторной.
8. Волновое уравнение Шредингера
и модификация этого уравнения для стационарного случая 8.1. ТИПЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
329
9. Уравнения для упругих волн, вязких оюидкостей и телеграфное уравнение.
10. Уравнения Максвелла и уравнение Дирака для волновых функций релятивистского электрона. Их можно записать в форме
Яф-F,
где -щ* -Jp ~af> х' у' 2)~ДиФФеРенЦиальный
оператор; F — известная функция; ір — искомая скалярная векторная функция.
Перечисленные уравнения характеризуются двумя особенно важными свойствами.
1. Они линейны * относительно неизвестной функции г|э. Наиболее легкие физические и математические задачи имеют аналитическое решение. Для решения нелинейных дифференциальных уравнений обычно привлекают численные методы, на которых мы не будем останавливаться.
2. Они относятся к типу дифференциальных уравнений второго порядка. Уравнения Максвелла и Дирака — уравнения первого порядка, но они содержат по две неизвестные функции. Замена одной функции другой приводит к дифференциальному уравнению второго порядка (см. разд. 1.9).
В теоретической физике встречаются уравнения более высокого порядка. В теории медленного движения вязкой жидкости и теории твердого тела возникает уравнение
Однако уравнения, подобные этому, встречаются сравнительно редко.
Перечислим теперь некоторые общие методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.
1. Разделение переменных. Этим методом мы пользовались уже в разд. 2.5. Его дальнейшее развитие дано в разд. 8.2. Метод разделения применим не во всех случаях, однако там, где им можно воспользоваться, он почти всегда является простейшим методом решения.
2. Методі функции Грина. Основные характерные особенности его приведены в разд. 8.6. Более детальное обсуждение этого метода дано в гл. 16.
* Определение линейности см. в разд. 2.5. >
330 Г JI. 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫ!? УРАші ппНЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
3. Другие аналитические методы решения, использующие, например, интегральные преобразования. Некоторые из методов этого типа рассмотрены в гл. 15.
4. Численные методы.
8.2. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Все уравнения математической физики, перечисленные в разд. 8.1, относятся к типу дифференциальных уравнений в частных производных. Первый метод решения таких уравнений, на котором мы остановимся, заключается в расщеплении дифференциального уравнения в частных производных от п переменных на п обыкновенных дифференциальных уравнений. Каждая такая процедура разделения вносит произвольную константу разделения. Если первоначально имелось п переменных, то число таких постоянных будет равно п — 1, все они определяются из физических условий решаемой задачи.
Метод разделения переменных проиллюстрирован в разд. 2.5 на примере волнового уравнения, записанного в декартовых и сферических координатах. В сферической системе координат волновое уравнение
V2t|?+A2i|) = 0 (8.1)
приводит к уравнению с зависимостью от азимутального угла
і™М+т'Ф(ф) = 0, (8.2)
в котором т2 — постоянная разделения. Чтобы выяснить ограничения, которые наложены на эту постоянную, будем исходить из того, что <р — азимутальный угол в сферической системе координат. Если рассматривается классическая задача, мы потребуем, чтобы решение, зависящее от азимутального угла, было однозначным, т. е.
Ф (ф + 2л) = Ф (ф). (8.3)
•
Это эквивалентно требованию периодичности решения с периодом 2я (или кратным 2я) *. Следовательно, т—-це-
* Это применимо и к большинству задач квантовой механики, однако в этом случае доказательство гораздо сложнее. 8.2. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
331
лое. Конкретный вид целых величин зависит от особенностей задачи. Эта проблема обсуждается в гл. 9.
