Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Последнее уравнение описывает на до-плоскости круг, центр которого тоже совпадает с началом координат. Горизонтальная линия у = C1 трансформируется в
0 C1 (6.76)
a2 + i>2 ИЛИ
«• + "' + ? + (2^ = (2^- (б'77)
Уравнение (6.77) описывает окружность в до-плоскости радиусом 1/2 Ci и с координатами центра и = 0, V=-1IzCi (рис. 6.15). Читателю предлагается самостоятельно рассмотреть три других варианта.
Вообще говоря, любая прямая линия или окружность в z-плоскости преобразуется в окружность в до-плоскости (см. упр. 2).
Все три рассмотренных преобразования дают взаимно однозначное отображение точек z-плоскости на точки до-плоскости. Однако возможны и другие преобразования. Остановимся сначала на двузначном преобразовании
до = Z2, (6.78)
которое приводит к
р = г\ ф = 20. (6.79) 6.5. ОТОБРАЖЕНИЕ
271
Очевидно, это преобразование нелинейно, так как модули связаны квадратичной зависимостью, но существенная особенность выражения (6.79) состоит в том, что фазовый угол, или аргумент, удваивается. Это означает, что имеется следующее отображение:
первый квадрант z-плоскости (О<0 < л/2) —» верхняя до-полуплоскость (0 < ф < я);
верхняя z-полуплоскость (0 0 < я) ->• вся до-плоскость
(0<ф<2л).
Нижняя полуплоскость Z также отображена на всю плоскость .до, т. е. отображение оказалось наложенным
У, У "Cf 0 1 2 3 I ' 1 1 »г
X •
Рис. 6.15. Инверсия, прямая линия-*-*- круг. Цифрами /, 2, 3 отмечены точки, соответствующие друг другу на Z- и аьплоскостях.
на плоскость до дважды. Таким образом, возникло двузначное соответствие, при котором две противолежащие точки Z0 и Zoeiл = — Z0 в плоскости Z соответствуют одной точке
До = Z20.
В декартовом представлении
U 4- iv = (X + iy)2 = JC2 — у2 + 2ш/, (6.80)
откуда
и = X2 — у2, V = 2ху.. (6.81)
Следовательно, прямые и = C1 И V — C2 в до-плоскости соответствуют равнобочным (и ортогональным) гиперболам 272 г л А В А 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО I
*2 — У2 = Cif 2ху — C2 на z-плоскости (рис. 6.16). Каждой точке гиперболы X2 — у2 = C1 в правой полуплоскости х>0 соответствуют одна точка на прямой и = Cii и наоборот. Однако любой точке на прямой и -- Ci соответствует, кроме того, точка на гиперболе х2 — у2 = C1 из левой полуплоскости X < 0.
В разд. 6.6 покажем, что ортогональные линии на до-плоскости отображаются в ортогональные линии на г-плоскости. Прямые и — Ci и V = C2 взаимно перпендикулярны, поэтому соответствующие гиперболы в z-плоскости
ортогональны. Таким образом, мы построим новую ортогональную систему гиперболических кривых (или поверхностей, если взять дополнительно ось, перпендикулярную к X и у). В упр. 4 к разд. 2.1 эта система уже рассматривалась. Преобразование
до — е2 (6.82)
приводит к
реіф = ех+іу (6.83)
или
P = е* ф = у. (6.84)
Если у изменяется в пределах 0 у < 2я (или —я < # < я), то ф перекрывает ту же область. Но это есть вся до-плоскость. Иными словами, горизонтальная полоса в z-плоскости шириной 2я отображается на всю до-плоскость. Более того, все точки je +і (# + 2/ія), где п — целое, отображаются на одну и ту же точку [по закону (6.84)1 6.5. ОТОБРАЖЕНИЕ
273
на до-плоскости. Следовательно, здесь мы имеем многозначное (бесконечнозиачное) соответствие.
Преобразование, обратное преобразованию (6.78), имеет
вид до Z1/2, (6.85)
откуда
реіФ=. г1/2ег0/25 (6 86)
2ф = 0, (6.87)
т. е. две точки в до-плоскости с аргументами ф и ф4я соответствуют одной точке в z-плоскости (исключением является точка г — 0). Или, иначе, 0 и 0-Ь2я соответствуют ф и ф-[-я — двум различным точкам в до-плоскости. Здесь мы столкнулись с ситуацией, аналогичной для уравнения у2 — х, в котором одному вещественному значению х соответствуют два вещественных значения у (со знаком плюс и минус).
Отметим одно важное обстоятельство: двузначную функцию до из уравнения (6.85) можно сделать однозначной, если ограничить 0 областью 0 ^ 0 < 2л;. Это достигается с помощью разреза плоскости вдоль линии 0 = 0. Конечная точка разреза (здесь z = 0) для многозначных функций называется точкой ветвления. Это и есть один из видов особых точек (см. разд. 7.1), функция f (z) неаналитична в точке z = 0.
Разрез можно сделать и по любой другой бесконечной линии, которая проходит через точку г — 0. Разрез нужен для того, чтобы ограничить аргумент г. Точки Z0 и z0e2jli совпадают в z-плоскости, но соответствуют двум различным точкам до и доеія = —до в до-плоскости, поэтому если разрез не делать, то функция до = z1/2 будет неопределенной.
В заключение остановимся на преобразовании, обратном преобразованию (6.82):
до = In z. (6.88)
Запишем его иначе:
u + iv = In rei0 = In r-H'O. " (6.89)
Для данной точки Z0, расположенной в z-плоскости, аргумент 0 определен с точностью до значений, кратных 2л, т. е.
u = 0 + 2/m, (6.90)
и, следовательно, как и в случае экспоненциального отображения, получаем бесконечнозиачное соответствие,
Jg-12§7 274 ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ІП
