Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
/0-1^=,+^-0-1^(1+?)"1- <6-47> 262 ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ІП
С помощью формулы (6.44) находим ряд
/('НТ^-ТТИТЙ)2-"-]' (6-48)
сходящийся в области | г — і \ < | 1 -И | — | Y2 |. Обозначим границу круга сходимости C2, а область внутри нее
п
Рис. 6.10. Аналитическое продолжение.
S2. Функция f (г) задана рядом (6.48) в области S2, которая перекрывается с S1, поэтому f (z) может быть продолжена в комплексной плоскости *. В этом и заключается смысл
* Один из наиболее важных результатов теории функций комплексного переменного состоит в том, что две аналитические функции, совпадающие в некоторой области, например в области перекрывания Si и S2 или на некотором отрезке прямой, представляют собой одну и ту же функцию в том смысле, что они будут совпадать всюду в областях определения этих функции. В этом случае соответствие разложении (6.46) и (6.48) в области перекрывания Si и S2 говорит о тождественности функций, которые представленії этими разложениями. Следовательно, выражение (6.48) будет аналитическим продолжением функции / (г) в той области, которая не охватывается разложением (6.46), поэтому можно утверждать, что функция / (z) = 1 /(1 + z) есть аналитическое продолжение рядов (6.46) и (6.48). 6.4. РЯД ЛОРАНА
263
аналитического продолжения, причем, если функция имеет только изолированные особые точки, это продолжение может быть бесконечным. Например, в гл. 10 мы воспользуемся рекуррентным соотношением для аналитического продолжения гамма-функции в окрестности изолированных особых точек г — — п, п = 1, 2, 3... .
Все элементарные функции, ez, sin z и т. д., могут быть разложены в комплексной плоскости (см. разд. 6.1, упр. 10). Например, для экспоненциальной функции это разложение имеет вид степенного ряда
Такое задание этой функции совпадает с ее определением на вещественной оси х для случая вещественной переменной и поэтому является аналитическим продолжением экспоненты в комплексной плоскости.
Ряд Лорана. Часто приходится иметь дело с функциями, аналитическими в кольце г < | z — Z0 | < R (рис. 6.11).
OO
е2-- 1 +-[1*4- 2! + '' • 2
п! '
(6.49)
Рис. 6.11. Область аналитичности f (г) на z-плоскости г < | z — z0| < R.
С помощью воображаемого разреза превратим кольцо в односвязную область, а затем применим интегральную 264 ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ІП
формулу Коши к двум окружностям C2 и C1 с центром в точке г — Z0 и с радиусами соответственно г2 и ги при- , чем г < г2 < г, < R *: 1М*Ы>
C1 с2 Фь^гыг д?
Важно подчеркнуть, что знак минус, введенный в уравне- . н^е-(б.БО), выбран из соображений положительного (про- / тда часовой стрелки) обхода контура C2 (и C1). Применим I к уравнению (6.50) ту же процедуру, какой мы пользовались j раньше, когда из выражения (6.40) получали разложе-1 ние Тейлора. Запишем каждый из знаменателей в подын-1 тегральных функциях в виде (z' — Z0) — (z — z0) и с по-Г мощью биномиальной теоремы для комплексного перемен-ного, вытекающей из формулы (6.44), произведем разло^ $ение
n=0 Cl ,
+ Ш 2 (г-г„Г§(г'-г0Г1/(г')<^ (6.51)
ті= 1 C2
Знак минус в уравнении (6.50) исчез после подстановки биномиального разложения. Обозначим первый ряд-из этого уравнения Si, а второй S2:
OO
(6.52)
n=0 Ci
Ряд S1 представляет собой обыкновенное разложение Тейлора, сходящееся при |z — Z01 < I z' — ZoI==T1, т. е. для всех точек г, которые лежат внутри большого круга C1.
Второй ряд из уравнения (6.51)
OO
=si 2 <г - г«г § (2' -г»)"-1 f Wdz' (6-53)
п=о C2
* Мы можем взять г2 как угодно близко к г, а п как угодно близко к R, увеличив максимально область между Ci и C2. 6.4. РЯД Л0РЛ1ІЛ
2G5
сходится При I Z — Z0 I > I z' — Z0 I — r2, т. е. для всех точек Z, которые лежат вне малого круга C2. Полученные ряды можно объединить в один (ряд Лорана)
со
/(г)= S Mz-z0)n, (6-54)
Tl=-OD
где
1 С f (г') dz' /с
0^ Ш $ (6-55)
С
Здесь С — произвольный контур из кольца г < | г — Z0 | < < R, обход контура С с точкой Z0 внутри него совершается против часовой стрелки. Если предположить существование такого кольца сходимости, то выражение (6.54) будет представлять собой ряд или разложение Лорана для функции / (г).
Многочисленные примеры рядов Лорана приводятся в гл. 7. Здесь же ограничимся только одним примером, который поможет проиллюстрировать соотношение (6.54).
Пример. Пусть f (z) — [z(z— l)J~i. Если положить Z0 = O, то г = 0, a R- 1; функция f (z) расходится в точке г=1. Из уравнений (6.55) и (6.41) имеем
OO
"» -Ш § (г'ГМ^-и --Ш § S <г')т • <»•«)
тп=0
Вновь изменим порядок суммирования и интегрирования (ряд сходится равномерно)
со
1
Л -fei
an^ 2 §> (г')«+І-™ • (6-57)
tr=o
Если перейти к полярной форме записи комплексных чисел, как это сделано в (6.30), то
OO
1 С fie,0do 1 0 . лп . /с соч ~Ы $ Гп+2-тпеі(п + 2-т)Є Zi 6^mt і (6.58)
тп=0
ИЛИ
Г_|для«>-|,
п \ О для п < 1, v ' >
266 ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЮ ПЕРЕМЕННОГО I
