Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
(6.28)
C2
C2 6.3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
255
поскольку / (z) аналитична и, следовательно, непрерывна в точке г = z0. Это и доказывает интегральную формулу Коши.
Мы получили замечательный результат. Действительно, определив функцию f (z) на границе области С, можно затем найти ее значение для любой внутренней точки Z = Z0 из этой области. В этом отношении отмечается большое сходство с двумерным законом Гаусса (см. разд. 1.14), где величина линейного заряда определяется интегралом по цилиндрической поверхности от электрического поля Е.
Исходя из интегральной формулы Коши, можно получить выражение для производной f (z). Если f (z) аналитична, то из (6.26) следует
¦ /с Иг) dz_$m_dz\,
oz 2moz Vj z—z0—oz j z—z0 /
Тогда, по определению производной (6.7),
=Mv^dz- (6-29'
При внимательном чтении можно заметить, что этот результат получается прямым дифференцированием (6.26) под знаком интеграла по z0. Такой формальный подход вполне оправдан, и его доказательство содержится в приведенных выкладках. Продолжая процесс дифференцирования, в конечном итоге получаем
(Apr- (6'3°)
Следовательно, требование аналитичности функции f (z) гарантирует существование не только первой производной, но и производной любого порядка, иными словами, из аналитичности функции f (z) автоматически следует аналитичность ее производных. Необходимо обратить внимание читателя на то, что это утверждение основано на трактовке Гурса интегральной теоремы Коши.
Теорема Морера. Применим интегральную теорему Коши для доказательства теоремы Морера, обратной теореме Коши. Теорема Морера утверждает следующее: если 256 ГЛАВА б. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1
функция f (2) непрерывна в односвязной области R и интеграл f (z) dz = 0 для любого замкнутого контура С из с
этой области, то f (z) аналитична в R.
Проинтегрируем f(z) от Zi до Z2. Поскольку ^f (г) = О
с
для любого замкнутого С, его значение не зависит от пути и определяется только начальной и конечной точками интегрирования. Обозначая результат интегрирования F (z), имеем
22
F(Z2)-F(Z1)= jf (z) dz. (6.31)
ч
Образуем тождество
J 1/(0-/(?) J Л
F(Z2)-F(Z1) _f J1--б 32
Z2-Z1 ' V Z2-Z1 v '
где / — новая переменная интегрирования. Перейдем к пределу Z2-^Z1. Тогда в силу непрерывности f(t)*
UЇ (t)~i(4)\dt lim —-= 0. (6.33)
22-)-21 Z1~ zI
Следовательно, по определению производной (6.7),
fj^JT1 = F W k-i = f (е-34)
22-yZi 6Z
Мы доказали, что Ff (z) существует в точке z = Z1 и равна в ней f (Z1), а поскольку Z1 — произвольная точка из области R, то F (z) аналитична в R. Следовательно, на основании интегральной формулы Коши (6.30) можно утверждать, что F' (z) = f (z) также аналитична в R. Теорема Mopepa доказана.
Обращаясь еще раз к электростатике, можно воспользоваться функцией f (z) для описания электростатического
* Здесь можно сослаться на теорему о среднем значении из математического анализа. 6.3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
257
поля Е. Если суммарный заряд внутри любой замкнутой области из R равен нулю, то плотность заряда всюду в R также равна нулю. С другой стороны, рассматривая f (г) в смысле разд. 1.13, мы можем считать ее консервативной силой, откуда сразу же вытекает, что она всегда выражается через производную потенциальной функции F (г).
Проверка обратного преобразования Фурье. Пусть функции f (z) и g (г) — аналитические в некоторой области, причем
а
Za(Z)--Lj e^g(w)dw. (6.35)
-а
В гл. 15 функция f (z) названа фурье-образом функции g(w)*.
Используя интегральную формулу Коши, докажем, что
оэ
g(0 = y= j Z-iltIa(Z) dz. (6.36)
— СО
Во-первых, поскольку g (w) — аналитическая, контур интегрирования можно деформировать. На рис. 6.8 пока-
Рис. 6.8. Деформированные контуры интегрирования на ад-плоскости.
заны два возможных варианта деформированного контура. Подставим теперь fa (z) в (6.36) и оценим полученное выражение (обозначим его /):
оо —а
/ = ^rj e-iztdz j ei2Wg(w)dw.
—оо a
* Следует в формуле (6.35) положить а оо. 17—1257 25s глава 6. функции комплексною переменною і
Интеграл по г разобьем на дна и изменим порядок интегрирования:
a u
Itz~L j g(w)dw j еіг<"'1Ыг }¦
-а(Сі) —оо
a со
+ 21R J g(w)dw j ei2<w"<>dz. (6.37)
-a (C2) O
В круглых скобках под знаком интеграла мы показываем, по какому контуру ведется интегрирование. Интегрируя сначала по г (поскольку это можно сделать), получаем
/
= 2й J SWdw
eiz (w-t)
w — t
g (w) dw
eiz (U!-0
W—t
OO
—oo 2m cl c2
(6.38)
і
Экспоненциальный множитель можно записать как е"гуегг где сделана замена w --= u-\-iv. Далее, благодаря выбору контура интегрирования в до-плоскости Imw — v отрицательна на Ci и положительна на C2. Выбор такого контура интегрирования обеспечивает стремление множителя eiz к нулю, как е~°°, при оо. Уравнение (6.38) пере-
ходит в
Cl C2
Применив интегральную формулу .Коши при условии —a<Ct<a (t лежит внутри замкнутого контура), получим
