Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 67

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 185 >> Следующая


^ f (z)dz= ^ (и-j- iv) (dx-j- idy) =

с с

= ^(udx — v dy)-\-i ^ (v dx-\-udy). (6.19)

с C

По теореме Стокса два последних линейных интеграла можно свести к поверхностным, если частные производные непрерывны внутри контура С. Обозначив V = IVx+ IVy, запишем

§ (Vx dx + Vy dy) = J (^ -?) dx dy.

С

В первом интеграле из правой части уравнения (6.19) положим Vx = U, Vy=-V, а во втором интеграле Vx = Vt

* Символ подчеркивает, что интегрирование ведется по замкнутому контуру. 6.2. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОПІЙ

251

Vv- IL Тогда на основании условий Коїли —Римана, которые в данном случае выполнены, поскольку f(z) анали-тична, имеем

+''!(?-?^=0- (6-2°)

Интегральная теорема Коши доказана. Однако с теоретической точки зрения оно проведено несколько некорректно из-за требования непрерывности первых частных производных. На самом деле это требование не является обязательным. Разбивая всю область, ограниченную контуром С, на бесконечно малые прямоугольники и рассматривая линейные интегралы по их границам, Гурса показал, что теорема Коши выполняется и в том случае, когда функция / (г) просто аналитична внутри этой области, причем

§ f(z)dz = 0. (6.21)

с

Строгое доказательство этой теоремы в более общей форме можно найти в других книгах, рекомендованных к этой главе. Фактически теорему Коши можно доказать для функции, аналитической внутри контура С и непрерывной на нем.

Из теоремы Коши следует, что линейный интеграл от аналитической функции определяется только концевыми точками контура интегрирования

Z-I Zt

j {(Z) dz ,= F (?) - F (г,) - - j f (z) dz. (6.22)

Zt Z2

Одно из исходных условий доказанной теоремы состояло в требовании односвязности области. Это ограничение можно легко спять, сделав соответствующий разрез на плоскости z. Рассмотрим многосвязную область R (рис. 6.4), о которой известно, что f (г) не определена внутри Rr. Интегральная теорема Коши уже не выполняется для контура С; однако можно задать такой контур интегрирования С', для которого теорема окажется справедливой. Соединим разрезом внутреннюю область Rr с областью, 252 г Л А В А '6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО f

лежащей за пределами контура С, и затем выберем новый контур интегрирования С', как показано на рис. 6.5.

госвязной области.

Новый контур С (ABDEiGA) нигде ие пересекает линию разреза, который делает область R односвязной. Анало-

Рис. 6.5. Превращение многосвязной области в одиосвязную.

гичная процедура использована в разд. 1.14 для доказательства трехмерного закона Гаусса. Сближая отрезки интегрирования на основании (6.22), получаем

A D

^f(A)dz=-\)f(z)dz. (6.23)

G E 6.3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ

253

Тогда с учетом интегральной теоремы Коши, примененной теперь уже к односвязной области R, мы вправе записать

ф/(г)dz = j f (z) dz+ j f(z)dz. (6.24)

C' ABD EFG

Обратимся вновь к уравнению (6.22), в котором положим ABD-^C1 и EFG->-C2. Тогда

§f(z)dz=^ f (z) dz. (6.25)

-і _ / C1 C2

Здесь обход контуров Cl и Сг совершается в одинаковом (против часовой стрелки) направлении.

Упражнения

1. Используя одни лишь условия Коши— Римана (без ссылок на интегральную теорему Коши), показать, что для окружности С единичного радиуса

§{z\2)-Uiz 0.

У

2. Показать, что Q

ь

dz

Z2+ Z

0.

Контур С—окружность, заданная условием |z| = /?>l. В разд. 7.2 показывается, что при R < 1 этот интеграл равен 2ш.

3. Проверить, чтоГ интеграл (1, 1)

1(1,1)

і

(0,0) 1 X

Z4 dz имеет разные значения рис. 6-6. Два контура ^0 интегрирования.

для двух контуров интегрирования,

показанных на рис. 6.6. Напомним, что f(z) — z* не является аналитической функцией, поэтому интегральная теорема Коши в данном случае неприменима.

6.3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ

Пусть функция f (г), аналитическая как на самом замкнутом контуре С, так и внутри области, ограниченной этим контуром, тогда

Пг) dz = 2mf (Z0), ' (6.26)

§

Z0

где Z0 — некоторая точка, лежащая внутри контура С. >

254 ГЛАВА 6. ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1

Это вторая из двух основных теорем, о которых говорилось в разд. 6.2. Докажем ее. Хотя f (г) предполагается аналитической, сама подынтегральная функция, которая имеет вид f (г)!(г — г0), неаналитична в точке г = Z0. Если выбрать контур интегрирования так, как показано

9\

"1

^ Рис. 6.7. Исключение особой точки.

на рис. 6.7 (или на рис. 6.5), то можно воспользоваться интегральной теоремой Коши. С учетом (6.25)

У Z-Z0 Y Z-Z0

с C2

(6.27)

где С — первоначальный наружный контур, а Сг_— окружность малого радиуса с центром в точке Z0Tno которой совершается обход против часовой стрелки. Учитывая, что интегрирование ведется по окружности, положим г — = z0 + г eie и воспользуемся представлением комплексного числа в полярных координатах. Здесь г мало и в дальнейшем произвольным образом будет устремлено к нулю. Тогда

& JVLdz = S? Мг°+ГІЄ) пёЫ8.

у z-z0 Y гег0

C2 Сг

Полагая г —> 0, имеем

§ 7?"dz = lf ^ $ dQ = 2nif (го)'
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed