Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
^ f (z)dz= ^ (и-j- iv) (dx-j- idy) =
с с
= ^(udx — v dy)-\-i ^ (v dx-\-udy). (6.19)
с C
По теореме Стокса два последних линейных интеграла можно свести к поверхностным, если частные производные непрерывны внутри контура С. Обозначив V = IVx+ IVy, запишем
§ (Vx dx + Vy dy) = J (^ -?) dx dy.
С
В первом интеграле из правой части уравнения (6.19) положим Vx = U, Vy=-V, а во втором интеграле Vx = Vt
* Символ подчеркивает, что интегрирование ведется по замкнутому контуру.6.2. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОПІЙ
251
Vv- IL Тогда на основании условий Коїли —Римана, которые в данном случае выполнены, поскольку f(z) анали-тична, имеем
+''!(?-?^=0- (6-2°)
Интегральная теорема Коши доказана. Однако с теоретической точки зрения оно проведено несколько некорректно из-за требования непрерывности первых частных производных. На самом деле это требование не является обязательным. Разбивая всю область, ограниченную контуром С, на бесконечно малые прямоугольники и рассматривая линейные интегралы по их границам, Гурса показал, что теорема Коши выполняется и в том случае, когда функция / (г) просто аналитична внутри этой области, причем
§ f(z)dz = 0. (6.21)
с
Строгое доказательство этой теоремы в более общей форме можно найти в других книгах, рекомендованных к этой главе. Фактически теорему Коши можно доказать для функции, аналитической внутри контура С и непрерывной на нем.
Из теоремы Коши следует, что линейный интеграл от аналитической функции определяется только концевыми точками контура интегрирования
Z-I Zt
j {(Z) dz ,= F (?) - F (г,) - - j f (z) dz. (6.22)
Zt Z2
Одно из исходных условий доказанной теоремы состояло в требовании односвязности области. Это ограничение можно легко спять, сделав соответствующий разрез на плоскости z. Рассмотрим многосвязную область R (рис. 6.4), о которой известно, что f (г) не определена внутри Rr. Интегральная теорема Коши уже не выполняется для контура С; однако можно задать такой контур интегрирования С', для которого теорема окажется справедливой. Соединим разрезом внутреннюю область Rr с областью,252 г Л А В А '6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО f
лежащей за пределами контура С, и затем выберем новый контур интегрирования С', как показано на рис. 6.5.
госвязной области.
Новый контур С (ABDEiGA) нигде ие пересекает линию разреза, который делает область R односвязной. Анало-
Рис. 6.5. Превращение многосвязной области в одиосвязную.
гичная процедура использована в разд. 1.14 для доказательства трехмерного закона Гаусса. Сближая отрезки интегрирования на основании (6.22), получаем
A D
^f(A)dz=-\)f(z)dz. (6.23)
G E6.3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
253
Тогда с учетом интегральной теоремы Коши, примененной теперь уже к односвязной области R, мы вправе записать
ф/(г)dz = j f (z) dz+ j f(z)dz. (6.24)
C' ABD EFG
Обратимся вновь к уравнению (6.22), в котором положим ABD-^C1 и EFG->-C2. Тогда
§f(z)dz=^ f (z) dz. (6.25)
-і _ / C1 C2
Здесь обход контуров Cl и Сг совершается в одинаковом (против часовой стрелки) направлении.
Упражнения
1. Используя одни лишь условия Коши— Римана (без ссылок на интегральную теорему Коши), показать, что для окружности С единичного радиуса
§{z\2)-Uiz 0.
У
2. Показать, что Q
ь
dz
Z2+ Z
0.
Контур С—окружность, заданная условием |z| = /?>l. В разд. 7.2 показывается, что при R < 1 этот интеграл равен 2ш.
3. Проверить, чтоГ интеграл (1, 1)
1(1,1)
і
(0,0) 1 X
Z4 dz имеет разные значения рис. 6-6. Два контура ^0 интегрирования.
для двух контуров интегрирования,
показанных на рис. 6.6. Напомним, что f(z) — z* не является аналитической функцией, поэтому интегральная теорема Коши в данном случае неприменима.
6.3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
Пусть функция f (г), аналитическая как на самом замкнутом контуре С, так и внутри области, ограниченной этим контуром, тогда
Пг) dz = 2mf (Z0), ' (6.26)
§
Z0
где Z0 — некоторая точка, лежащая внутри контура С.>
254 ГЛАВА 6. ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1
Это вторая из двух основных теорем, о которых говорилось в разд. 6.2. Докажем ее. Хотя f (г) предполагается аналитической, сама подынтегральная функция, которая имеет вид f (г)!(г — г0), неаналитична в точке г = Z0. Если выбрать контур интегрирования так, как показано
9\
"1
^ Рис. 6.7. Исключение особой точки.
на рис. 6.7 (или на рис. 6.5), то можно воспользоваться интегральной теоремой Коши. С учетом (6.25)
У Z-Z0 Y Z-Z0
с C2
(6.27)
где С — первоначальный наружный контур, а Сг_— окружность малого радиуса с центром в точке Z0Tno которой совершается обход против часовой стрелки. Учитывая, что интегрирование ведется по окружности, положим г — = z0 + г eie и воспользуемся представлением комплексного числа в полярных координатах. Здесь г мало и в дальнейшем произвольным образом будет устремлено к нулю. Тогда
& JVLdz = S? Мг°+ГІЄ) пёЫ8.
у z-z0 Y гег0
C2 Сг
Полагая г —> 0, имеем
§ 7?"dz = lf ^ $ dQ = 2nif (го)'